고천동중2수학과외, 내심과 외심을 직접 작도하며 도형 근거를 설명하는 연습
삼각형 문제에서 그림을 보고 “가운데 있는 점”이라고만 답하면 서술형에서 점수를 잃기 쉽습니다. 중2 도형에서는 그 점이 어떤 선의 교점인지, 왜 그 위치에 놓이는지 설명해야 합니다. 특히 내심과 외심은 그림의 모양만 보고 판단하면 쉽게 뒤바뀌므로 작도 과정과 근거를 함께 익히는 것이 중요합니다.
그림의 위치보다 먼저 확인할 것
내심은 삼각형의 세 각의 이등분선이 만나는 점입니다. 따라서 내심에서 세 변에 내린 수선의 길이는 모두 같습니다. 외심은 세 변의 수직이등분선이 만나는 점이며, 외심에서 세 꼭짓점까지의 거리가 같습니다.
두 점 모두 삼각형 안쪽에 나타나는 경우가 많지만, 둔각삼각형에서는 외심이 삼각형 바깥에 놓일 수 있습니다. 그러므로 “가운데에 있는 점이 내심”처럼 위치만으로 판단하지 않고, 각의 이등분선인지 수직이등분선인지 확인해야 합니다.
고천동 학생에게 나타나는 실제 막힘
학생에게 삼각형 ABC와 점 O가 주어지고 “O가 외심임을 설명하시오”라는 문제가 나왔습니다. 학생은 그림에서 O가 가운데에 있다는 이유로 “세 변까지의 거리가 같다”고 적었지만, 그 사실을 보여 주는 선을 표시하지 않았습니다. 또 한 변의 수직이등분선만 그은 뒤 O를 외심이라고 결론 내리기도 했습니다.
내심 문제에서는 더 구체적인 오류가 나왔습니다. ∠A의 이등분선과 ∠B의 이등분선을 그려 놓고도 두 직선의 교점을 외심이라고 썼습니다. 선의 종류를 구분하지 못한 것입니다. 각을 반으로 나누는 선과 선분을 수직으로 둘로 나누는 선은 이름과 역할이 다릅니다.
“점의 이름을 외우기보다, 어떤 선 두 개 이상이 만나는지 먼저 말해 보자.”
작도 순서를 고정하는 훈련
먼저 문제에서 요구하는 점의 이름을 가리고 조건만 읽습니다. ‘세 각의 이등분선’이라는 말이 있으면 각의 꼭짓점에서 반대편 변을 향하는 선을 표시합니다. ‘세 변의 수직이등분선’이라는 말이 있으면 각 변의 양 끝점에서 같은 거리에 있는 점들의 자취를 그립니다.
- 내심: 각의 이등분선 두 개를 작도하고 교점을 표시한다.
- 외심: 변의 수직이등분선 두 개를 작도하고 교점을 표시한다.
- 내심 확인: 교점에서 세 변까지의 수선 길이를 비교한다.
- 외심 확인: 교점에서 세 꼭짓점까지의 선분 길이를 비교한다.
- 서술형 답안에는 ‘무엇의 교점인지’와 ‘같은 길이가 되는 이유’를 함께 적는다.
작도 뒤에는 그림을 지우고 말로 다시 설명하게 합니다. 예를 들어 “O는 ∠A와 ∠B의 이등분선의 교점이므로 내심이다”처럼 조건과 결론을 연결합니다. 외심이라면 “O가 AB와 BC의 수직이등분선 위에 있으므로 OA=OB이고 OB=OC이다”와 같이 근거를 적습니다.
현재 학습에서 이 단원이 어려워지는 이유
중2에서는 공식만 대입하는 문제보다 한 도형 안에서 여러 조건을 동시에 해석하는 문제가 늘어납니다. 학생은 각의 이등분선, 수직이등분선, 수선, 등거리라는 표현을 각각 배웠지만 문제에서 어떤 조건을 골라야 하는지 바로 연결하지 못합니다.
특히 풀이 시간이 촉박하면 자와 컴퍼스를 사용해 확인하기보다 그림의 모양을 보고 답을 정합니다. 이후 새로운 삼각형이나 둔각삼각형이 나오면 외심의 위치가 달라져 같은 개념을 적용하지 못합니다. 이때 중1 전 범위를 다시 시작하기보다 선분의 수직과 각의 이등분이라는 선수개념만 짧게 확인하고 곧바로 현재 작도 문제로 돌아옵니다.
사례: 같은 개념을 다른 그림에 적용하기
한 학생은 예각삼각형에서 내심과 외심을 구분하는 문제는 맞혔지만, 다음 시간 둔각삼각형의 외심을 찾는 문제에서 삼각형 내부에 점을 억지로 표시했습니다. 풀이를 살펴보니 ‘외심은 세 꼭짓점에서 같은 거리’라는 조건보다 그림의 중앙이라는 인상을 먼저 사용하고 있었습니다.
수정할 때는 먼저 세 변 중 두 변을 골라 수직이등분선을 그리게 했습니다. 두 선이 삼각형 바깥에서 만나는 것을 확인한 뒤, 그 교점에서 세 꼭짓점까지 선분을 연결했습니다. 길이가 같다는 관계를 확인하고 나서야 외심이라는 이름을 붙였습니다. 그림의 위치가 아니라 작도 조건이 결론을 결정한다는 점을 직접 확인한 장면입니다.
독립 검증은 그림과 조건을 바꾸어 실시한다
같은 삼각형을 다시 풀게 하는 것으로는 충분하지 않습니다. 첫 번째 검증에서는 변의 길이와 각의 크기를 바꾼 삼각형을 제시하고 내심의 작도 과정을 설명하게 합니다. 두 번째에서는 둔각삼각형을 제시하여 외심이 삼각형 바깥에 놓일 수 있음을 확인합니다.
그 다음에는 그림 없이 “점 P가 두 변의 수직이등분선 위에 있다”는 문장을 주고 PA와 PB의 관계를 쓰게 합니다. 마지막으로 “P가 세 각의 이등분선의 교점임을 설명하시오”라는 서술형을 시간 제한 안에 해결하게 합니다. 답안에 각의 이등분선 또는 수직이등분선이라는 정확한 표현이 들어갔는지, 필요한 등거리 관계가 빠지지 않았는지 스스로 표시하게 합니다.
고천동 생활권에서 이어지는 학습 관리
고천동 주소 기준으로 확인된 중학교는 없으며, 같은 의왕시의 참고 학교로 갈뫼중학교, 고천중학교, 내손중학교, 덕장중학교, 모락중학교가 있습니다. 이 학교들이 고천동 소재 학교라는 뜻은 아닙니다. 고천파크루체아파트와 솔거원효아파트처럼 생활권 안의 주거지에서 이동하는 학생은 통학과 과제 시간이 함께 제한될 수 있어, 짧은 시간에도 작도와 설명을 한 세트로 끝내는 방식이 효율적입니다.
중학교에서 고등학교로 넘어가면 이동 거리와 과제량, 시험 시간 관리가 달라질 수 있습니다. 따라서 지금부터 한 문제를 오래 붙잡기보다 조건 표시, 작도, 근거 문장 작성까지 정해진 시간 안에 마치는 훈련이 필요합니다. 고천동중2수학과외에서는 학생이 틀린 점의 이름만 고치는 데서 끝내지 않고, 어떤 선을 그렸고 그 선이 어떤 등거리 관계를 만드는지 말과 그림으로 다시 확인합니다.
자주 묻는 질문
Q. 내심과 외심을 그림만 보고 구분해도 되나요?
A. 안 됩니다. 내심은 각의 이등분선, 외심은 변의 수직이등분선의 교점이라는 조건으로 판단해야 합니다.
Q. 외심이 삼각형 밖에 있으면 틀린 그림인가요?
A. 아닙니다. 둔각삼각형에서는 외심이 삼각형 바깥에 놓일 수 있으므로 세 변의 수직이등분선으로 확인해야 합니다.
Q. 서술형에서는 무엇을 꼭 써야 하나요?
A. 해당 점이 어떤 선들의 교점인지 쓰고, 그 결과 생기는 등거리 관계나 수직 관계를 근거로 제시해야 합니다.