은평구중3수학과외, 무리수와 유리수를 조건으로 판별하는 연습
학생이 다음 분류표에서 √9를 무리수 칸에 넣고, 0.333…은 유리수인지 모르겠다고 적은 장면부터 살펴볼 수 있다. 계산 결과가 복잡해 보이는지, 근호가 있는지에 따라 판단했기 때문이다. 그러나 무리수와 유리수의 구분은 기호의 모양이 아니라 수를 분수로 나타낼 수 있는지, 소수 표현이 어떤 형태로 끝나는지를 확인하는 문제다.
√가 있다고 모두 무리수는 아니다
학생은 √16, √25처럼 근호가 붙은 수를 전부 무리수라고 생각했다. 이때 먼저 근호 안의 수가 완전제곱수인지 확인하도록 풀이 순서를 바꾼다.
√16=4, √25=5이므로 두 수는 정수이고, 정수는 각각 분모가 1인 분수로 나타낼 수 있다. 따라서 유리수다. 반면 √2는 정수나 분수로 정확히 나타낼 수 없으므로 무리수다. √12도 그대로 두면 근호가 있지만, √12=2√3이고 √3이 무리수이므로 √12 역시 무리수다.
학생에게 “근호가 있습니까?”라고 묻는 대신 “근호를 계산한 뒤 분수 꼴로 만들 수 있습니까?”라고 질문한다. 이 질문을 적은 뒤 √36, √7, √50을 차례로 분류하게 하면 √36=6은 유리수, √7은 무리수, √50=5√2는 무리수라는 근거를 함께 말할 수 있다.
소수의 모양을 끝까지 읽기
두 번째 오답은 0.25를 무리수로 분류한 것이다. 소수가 길게 이어질 것 같다는 인상에 의존했지만, 0.25는 25/100=1/4이므로 유리수다. 유한소수는 항상 분수로 바꿀 수 있다.
반복되는 소수도 유리수다. 예를 들어 0.333…은 1/3이고, 0.121212…은 12/99로 나타낼 수 있다. 유리수의 소수 표현은 유한소수이거나 순환소수다. 끝없이 이어진다는 사실만으로 무리수라고 판단하면 안 된다. 0.101001000100001…처럼 반복 규칙 없이 이어지는 소수는 분수로 나타낼 수 없으므로 무리수에 해당한다.
유리수: 분수로 나타낼 수 있음, 소수 표현이 유한 또는 순환
무리수: 분수로 정확히 나타낼 수 없음, 소수 표현이 끝나지 않고 반복되지 않음
분류보다 먼저 조건에 표시하기
학교 프린트의 “다음 중 무리수를 모두 고르시오”라는 문항에서 학생은 보기의 숫자를 보자마자 √가 있는 항에 동그라미를 쳤다. 수정할 때는 각 보기 옆에 세 가지 표시만 하게 한다. 완전제곱근인지, 분수로 바꿀 수 있는지, 소수의 반복 여부가 무엇인지 적는 방식이다.
예를 들어 다음 보기에서는 판단 근거가 달라진다.
① √81 ② √10 ③ 3/7 ④ 0.625 ⑤ 0.2020020002…
①은 √81=9이므로 유리수다. ②는 √10을 더 간단한 유리수로 바꿀 수 없으므로 무리수다. ③은 이미 분수이므로 유리수이고, ④는 625/1000으로 바꿀 수 있으므로 유리수다. ⑤는 숫자가 계속 달라져 일정한 순환이 보이지 않으므로 무리수로 판단한다.
은평구 학생의 주간 일정에 맞춘 판별 훈련
은평구 안에서도 신사동·갈현동·녹번동·불광동·수색동·역촌동 등 생활권과 학교별 일정은 같지 않다. 구산중학교, 대성중학교, 덕산중학교, 불광중학교, 상신중학교, 선일여자중학교는 대표적으로 확인되는 학교이지만, 이를 은평구 전체 학생의 동일한 통학권이나 내신 방식으로 일반화할 수는 없다. 그래서 수업에서는 학교 이름보다 학생이 실제로 받는 프린트와 주간 시험 일정을 기준으로 문제량을 조정한다.
시험 전날에는 새로운 공식을 늘리지 않고, 분류 근거를 한 줄로 쓰는 훈련을 한다. 평일 일정이 촘촘한 학생은 √16, √18, 0.4, 0.444…처럼 판단 기준이 분명한 네 문항을 풀고, 주말에는 표현이 섞인 문항을 추가한다. 은평마을이나 은평뉴타운10단지, 은평뉴타운구파발9단지처럼 생활권이 달라도 학습 목표는 동일하다. 학생이 보기의 모양이 아니라 수의 성질을 확인하는지가 기준이다.
맞힌 답에도 근거를 붙이는 이유
학생이 √18을 무리수라고 맞혔더라도 “근호가 있어서요”라고 답하면 아직 판단 과정은 불안정하다. √18=3√2이고 √2가 무리수라는 설명까지 해야 한다. 반대로 √49를 유리수라고 했다면 √49=7, 7=7/1이라는 연결을 말하게 한다. 정답과 이유를 분리하지 않고 한 문장으로 쓰게 하면 비슷한 문제에서 첫 행동이 안정된다.
숫자를 바꾼 독립 확인
마지막에는 앞서 풀었던 문제를 그대로 반복하지 않고 다음 조건을 제시한다. “√a가 유리수가 되도록 하는 1부터 30까지의 자연수 a를 모두 고르시오.” 학생이 √1, √4, √9, √16, √25를 찾아내려면 근호 안의 수가 완전제곱수인지 스스로 확인해야 한다. 이어서 0.272727…과 0.270270027000…을 비교하게 한다. 첫 번째는 27/99로 나타낼 수 있는 순환소수이고, 두 번째는 일정한 반복 단위가 없으므로 무리수다.
이때 학생이 도움 없이 완전제곱수 표시, 분수 변환 여부, 소수의 반복 여부를 차례로 확인한다면 단순히 정답을 외운 것이 아니라 새로운 표현에서도 유리수와 무리수를 판별하는 기준을 꺼내 쓴 것으로 볼 수 있다.