은평구중1수학과외, 전개도의 면을 실제 이웃 관계로 확인하는 연습
전개도 문제에서 학생이 자주 하는 말은 “접으면 입체도형이 되니까 이 면도 붙겠죠?”이다. 하지만 전개도는 그림의 모양을 대략 기억하는 문제가 아니라, 접었을 때 어떤 면이 서로 맞닿는지 확인하는 문제다. 은평구중1수학과외에서는 숙제와 복습 과정에서 전개도 오답이 나오면 초등 계산 공백을 무조건 넓게 복습하지 않고, 현재 문제를 막은 계산이나 공간 관계만 짧게 확인한 뒤 다시 전개도에 적용한다.
눈에 익은 모양과 실제 접힌 뒤의 위치는 다르다
한 중1 학생의 학습 장면을 가정해 보면, 직육면체 전개도에서 가운데 직사각형 네 개가 옆으로 이어지고 위아래에 한 면씩 붙어 있는 그림을 본 뒤 모든 면이 서로 연결될 것이라고 판단할 수 있다. 학생은 네 면의 배열만 외우고, “이 면을 접었을 때 어느 면의 맞은편이 되는가?”라는 질문에는 답하지 못한다.
예를 들어 다음과 같은 전개도에서 가운데 면을 기준으로 왼쪽, 오른쪽, 위쪽, 아래쪽 면은 접은 뒤 기준 면과 각각 맞닿는다. 반면 네 개의 옆면 중 서로 마주 보는 위치가 생기므로, 평면에서 가까이 보인다는 이유만으로 접힌 뒤에도 이웃이라고 판단하면 안 된다. 전개도를 읽을 때는 각 면의 이름을 붙이고, 한 면을 고정한 뒤 나머지 면이 어느 방향으로 회전하는지 추적해야 한다.
학생이 면의 넓이를 구하는 과정에서 분수나 소수 계산을 틀렸다면 계산 공백도 함께 드러날 수 있다. 그러나 이때 소수와 분수 전 범위를 다시 시작하지 않는다. 예를 들어 가로 2.5cm, 세로 4cm인 직사각형의 넓이를 2.5+4로 계산했다면 넓이의 곱셈 관계와 소수 계산만 확인한다. 계산을 바로잡은 뒤에는 다시 면의 위치를 추적해 전개도 문제의 핵심으로 돌아온다.
접기 전에 표시할 세 가지
전개도를 볼 때 먼저 각 면에 A, B, C처럼 번호를 붙인다. 그다음 기준 면을 하나 정하고, 기준 면과 변을 공유하는 면에 화살표를 표시한다. 마지막으로 접힌 뒤 기준 면과 맞닿지 않는 면, 즉 맞은편 면이 무엇인지 따로 적는다.
- 한 변을 실제로 공유하는 면인지 확인한다.
- 접는 선을 기준으로 면이 어느 방향으로 올라가는지 표시한다.
- 평면에서 떨어져 있어도 접은 뒤 맞닿는 면이 있는지 확인한다.
학생이 문제를 끝까지 읽지 않고 정사각형 개수부터 세는 행동을 보이면, 질문의 대상을 먼저 동그라미 하게 한다. “맞닿는 면”을 묻는지, “맞은편 면”을 묻는지, “겉넓이”를 묻는지에 따라 표시 방법이 달라지기 때문이다. 겉넓이를 구하는 문제라면 면의 이웃 관계보다 각 면의 변 길이와 넓이를 정리해야 하고, 특정 면의 위치를 묻는 문제라면 번호와 접는 방향이 우선이다.
교과서 그림과 문제집 그림이 달라졌을 때
작도 순서를 따라 하는 데 익숙한 학생도 전개도의 표현이 바뀌면 멈출 수 있다. 가로로 펼친 그림만 보다가 세로로 길게 연결된 그림을 만나면 새로운 유형이라고 생각하기 쉽다. 이때 그림의 방향을 외우게 하지 않고, 기준 면과 변의 연결 관계를 다시 찾게 한다.
예를 들어 네 개의 옆면이 일렬로 놓인 전개도에서 첫 번째 면과 네 번째 면이 평면상으로 멀리 떨어져 있어도, 입체도형으로 접으면 서로 맞닿는 면이 될 수 있다. 학생은 각 면을 잘라 붙이는 상상을 하기보다, 첫 면을 바닥으로 고정하고 두 번째, 세 번째, 네 번째 면을 차례로 세운다. 이 과정을 말로 설명하면서 “두 번째 면의 오른쪽 변에 세 번째 면이 연결된다”처럼 변의 관계를 표현하게 한다.
전개도는 모양을 기억하는 문제가 아니라, 어느 면이 어느 변을 공유하고 접힌 뒤 어디에 놓이는지 확인하는 문제다.
맞힌 뒤에도 바로 복습을 끝내지 않는 이유
한 문제를 맞혔다고 해서 전개도 학습이 끝난 것은 아니다. 같은 그림을 다시 보여 주면 번호를 외워 답하는 학생이 있기 때문이다. 첫 풀이가 끝나면 풀이 시간을 확인하고, 답을 맞힌 이유를 한 문장으로 설명하게 한다. “A면을 기준으로 B면과 C면을 차례로 접었고, D면은 A면의 맞은편이다”처럼 위치 관계가 들어가야 한다.
그다음에는 숫자가 없는 전개도에 면 번호만 바꾸어 제시한다. 이번에는 면의 넓이를 묻지 않고, 기준 면과 맞닿는 면 또는 맞은편 면을 고르게 한다. 이후 전개도의 방향을 회전시키거나, 같은 입체도형의 다른 전개도 형태를 제시한다. 그림이 달라져도 변의 공유 관계를 표시하는지 확인해야 독립 적용으로 볼 수 있다.
다음 날에는 전날 사용한 그림을 그대로 복사하지 않고 면 번호와 질문을 바꾼다. 일주일 뒤에는 수행평가 자료나 학교 프린트의 도형 그림을 짧은 지필형 문항으로 바꾸어, 기준 면 표시와 접는 방향 설명을 제한된 시간 안에 수행하게 한다. 이때 다시 틀린 경우에는 계산 오류인지, 질문을 잘못 읽은 것인지, 면의 이웃 관계를 혼동한 것인지 오답 원인을 나눈다.
복습을 종료할 수 있는 기준
전개도 그림의 방향, 면 번호, 질문 표현이 바뀌어도 학생이 먼저 기준 면을 정하고 공유하는 변을 표시한다면 해당 항목은 일단 종료할 수 있다. 반대로 답만 맞히고 왜 그런지 설명하지 못하거나, 다음 날 면 번호가 바뀌었을 때 다시 평면상의 가까운 면을 고른다면 복습을 남긴다. 은평구 안에서도 구산중학교, 대성중학교, 덕산중학교, 불광중학교 등 학교별 프린트와 주간 일정은 다를 수 있으므로, 특정 학교의 출제 경향을 단정하기보다 실제로 받은 자료에서 전개도 표현과 질문 방식을 확인해 훈련량을 조정하는 것이 적절하다.