역촌동중1수학과외, 컴퍼스 작도에서 숫자가 바뀌어도 멈추지 않는 연습
컴퍼스를 펼쳐 놓고도 학생의 손이 멈추는 순간이 있다. 교과서에서 선분의 길이가 4cm였을 때는 작도했지만, 학교 프린트에서 같은 유형이 6cm로 바뀌거나 그림의 방향이 달라지면 바늘을 어느 점에 놓아야 할지 다시 묻는다. 이때 막히는 지점은 컴퍼스를 다루는 손기술만이 아니다. 문제의 조건을 작도 순서로 바꾸는 과정이 아직 안정되지 않은 것이다.
역촌동의 학습 일정도 한 가지 방식으로 단정하기 어렵다. 역촌역과 역촌 센트레빌 아파트, 엔에스아파트 주변에서 학교와 학원, 가정 학습 시간이 서로 다르게 구성될 수 있고, 구산중학교·대성중학교·덕산중학교·불광중학교·상신중학교는 같은 은평구의 참고 학교일 뿐 역촌동 소재 학교로 표현할 수 없다. 따라서 작도 학습은 특정 학교의 출제 경향을 가정하기보다 학생이 실제로 받는 교과서와 학교 프린트의 조건을 읽는 데서 시작한다.
숫자를 외우는 작도에서 조건을 읽는 작도로
한 중1 학생의 학습 장면을 가정해 보면, 선분 AB가 주어지고 AB와 같은 길이를 이용해 삼각형을 작도하는 문제에서 컴퍼스의 폭을 먼저 정한다. 그런데 AB의 길이가 5cm에서 7cm로 바뀌자 “몇 cm로 벌려야 해요?”라고 묻는다. 이 문제에서 컴퍼스를 벌리는 기준은 문제에 따로 적힌 숫자가 아니라 선분 AB 자체다. 자로 AB의 길이를 재어 숫자를 외우는 것이 아니라, 컴퍼스의 침을 A에 두고 연필 끝이 B에 닿게 하여 AB의 길이를 옮겨야 한다.
예를 들어 A와 B를 중심으로 같은 반지름의 호를 그려 교점 C를 만들면 AC와 BC는 각각 AB와 같은 길이가 된다. 삼각형 ABC를 완성할 때 핵심은 ‘5cm’나 ‘7cm’라는 숫자를 기억하는 것이 아니라 ‘A에서 B까지의 길이를 A와 B에서 각각 옮긴다’는 관계다. 그림이 오른쪽으로 돌아가 있거나 선분이 기울어져 있어도 이 관계는 달라지지 않는다.
학교 프린트에서 남는 조건을 그림에 표시하기
실제 오답에서는 조건을 읽지 않은 것이 아니라 그림에 옮기지 않은 흔적이 보인다. 프린트에 길이 조건과 각 조건, 평행 조건이 함께 제시되었는데 학생은 도형의 외곽선만 따라 그린다. 작도 중간에 이미 사용한 길이 조건을 다시 확인하지 못하고, 평행이라는 문장을 컴퍼스의 반지름으로 처리하려고 하기도 한다.
작도 문제를 시작할 때는 문장 옆에 표시를 나눈다. 같은 길이는 선분 위에 같은 짧은 눈금이나 기호를 적고, 같은 각은 각 표시를 붙인다. 평행 조건은 해당 두 선분에 같은 화살표 표시를 한다. 컴퍼스로 직접 옮길 수 있는 것은 길이 관계이고, 각의 크기나 평행 여부는 별도의 작도 절차와 도구가 필요하다는 점도 구분한다. 그림에 없는 위치 관계를 임의로 추가하지 않고, 문제에 적힌 조건만 표시한다.
한 문항을 풀 때는 ① 주어진 선분과 점 확인 ② 컴퍼스의 침을 놓을 점 결정 ③ 기준 길이 옮기기 ④ 호의 교점 확인 ⑤ 필요한 선분 연결의 순서로 진행한다. 각 단계가 끝날 때 사용한 조건에 체크한다. 예를 들어 A를 중심으로 그린 호에는 ‘AB 길이’, B를 중심으로 그린 호에는 ‘AB 길이’라고 적는다. 그러면 숫자가 바뀌었을 때도 같은 숫자를 다시 계산하지 않고 기준 선분을 찾아 작업을 이어 갈 수 있다.
한 자료를 덮고 작도 과정을 재현하기
교과서와 프린트를 동시에 펼쳐 놓으면 학생은 완성된 그림을 보고 따라 그리기 쉽다. 그래서 학교 프린트의 오답 한 문항을 고친 뒤에는 자료를 덮고 빈 종이에 조건만 적는다. ‘AB를 기준으로 같은 길이의 호를 두 번 그린다’처럼 절차를 말로 먼저 재현한 다음 컴퍼스를 사용한다. 이때 완성 그림을 똑같이 복사하는 것이 목표가 아니라 어느 점을 중심으로 삼았고 어떤 길이를 옮겼는지 설명하는 것이 목표다.
컴퍼스의 폭이 중간에 바뀌었는지도 확인한다. A에서 그린 호와 B에서 그린 호의 반지름이 같아야 하는데, 손이 미끄러져 폭이 달라지면 두 호의 교점이 달라진다. 자로 매번 수치를 재서 맞추기보다 처음 정한 폭을 유지하고, 필요한 경우 두 호가 같은 반지름으로 그려졌는지 표시한다. 자는 선분의 위치와 연결을 확인하는 데 사용하고, 컴퍼스는 길이의 동일성을 옮기는 데 사용한다.
다음 날 숫자와 그림을 바꾼 독립 확인
같은 문제를 바로 다시 맞혔다고 작도가 끝난 것은 아니다. 하루 뒤 선분의 길이 숫자를 바꾸고, 도형을 반대 방향으로 배치한 문항을 제시한다. 예를 들어 처음에는 수평인 AB를 사용했다면 다음에는 기울어진 선분 PQ를 기준으로 삼는다. 문제에 불필요한 길이 정보 하나를 추가하되, 실제 작도에 필요한 기준이 무엇인지 스스로 제외하게 한다.
확인할 항목은 완성된 모양이 교과서와 같은지보다 다음과 같다. 학생이 기준 선분을 찾아 컴퍼스의 폭을 정하는가, 두 호의 중심을 구별하는가, 숫자가 바뀌어도 같은 길이 관계를 유지하는가, 길이·각·평행 조건을 그림에 표시하는가, 사용하지 않은 정보가 남았을 때 이유를 말할 수 있는가이다. 시간 제한을 짧게 두더라도 처음부터 서두르게 하지 않고, 조건 표시 후 작도를 시작하는 순서를 지키는지 본다.
이 과정을 통과하면 컴퍼스 작도는 특정 그림을 기억하는 과제가 아니라 조건을 읽고 길이 관계를 옮기는 문제로 바뀐다. 이후 학교 프린트와 교과서가 서로 다른 자료처럼 보여도, 먼저 조건을 표시하고 기준 선분을 찾은 뒤 같은 절차를 적용할 수 있다.