역촌동고3수학과외

리만합의 한 칸을 놓치지 않는 정적분 풀이

역촌동에서 통학하는 학생은 은평구 내 숭실고등학교, 선정고등학교, 충암고등학교 등 학교별 일정에 맞춰 정적분 오답을 다시 분석했다. 특정 학교의 출제 경향으로 단정하기보다, 채점 후 풀이의 첫 불일치를 찾는 데 초점을 두었다.

Δx와 함수값의 곱을 먼저 확인하기

다음 정적분을 리만합의 극한으로 나타내는 과정에서 학생은

∫₀²(x²+1)dx

를 다음과 같이 작성했다.

Δx = 2/n, x_k = 2k/n

∫₀²(x²+1)dx = lim_n→∞ Σ_k=1ⁿ ((2k/n)²+1)

이 식은 틀린 식이다. 구간의 작은 폭인 Δx를 함수값에 곱하지 않았기 때문이다. 리만합은 반드시 함수값과 직사각형의 폭의 곱으로 구성된다.

첫 오류부터 화살표로 수정하기

• 틀린 줄 표시: Σ((2k/n)²+1)
• 조건 확인: [0, 2]를 n등분하므로 Δx=(2-0)/n=2/n
• 변수 관계 연결: 오른쪽 끝점 x_k=0+kΔx=2k/n
• 식 수정: lim_n→∞ Σ_k=1ⁿ[( (2k/n)²+1)·2/n]

학생은 수정한 식을 합 공식으로 계산했다.

lim_n→∞ Σ_k=1ⁿ(8k²/n³+2/n)

= lim_n→∞[8/n³ · n(n+1)(2n+1)/6 + 2]

= 8/3+2 = 14/3

마지막으로 원시함수 F(x)=x³/3+x를 미분해 F′(x)=x²+1임을 확인하고,

F(2)-F(0)=8/3+2=14/3

으로 역검산했다. 처음 오답은 계산 실수가 아니라 Δx를 누락해 리만합의 구조를 잘못 읽은 데서 발생했다.

구간과 함수가 바뀌었을 때의 독립 검증

같은 절차를 반복하지 않고 다음 문제로 조건을 바꾸어 확인했다.

∫₁⁴(3x-2)dx를 오른쪽 끝점 리만합으로 나타내고 값을 구하여라.

구간 길이는 3이므로 Δx=3/n, 오른쪽 끝점은 x_k=1+3k/n이다.

따라서

lim_n→∞ Σ_k=1ⁿ[(3(1+3k/n)-2)·3/n]

= lim_n→∞ Σ_k=1ⁿ(3/n+27k/n²)

= 3+27/2=33/2

원시함수 G(x)=3x²/2-2x를 이용하면

G(4)-G(1)=16-(-1/2)=33/2

이다. 경계값과 Δx가 달라져도 학생은 먼저 구간 길이, 표본점, 함수값·Δx의 곱을 화살표로 연결한 뒤 계산하도록 풀이 순서를 고정했다.