역촌동고1수학과외, 합의 법칙에서 겹치는 경우를 세는 방법
역촌동의 고등학교 주소가 별도로 확인되는 것은 아니므로, 숭실고등학교·선정고등학교·충암고등학교 등 은평구 통학권의 학교별 주간 학습 일정에 맞춰 경우의 수 문제를 점검할 수 있다. 이 단원에서는 식을 더하기 전에 각 경우가 서로 겹치는지 판단하는 과정이 필요하다.
18과 14를 바로 더하면 생기는 오류
학교 행사에서 동아리 A를 선택한 학생이 18명, 동아리 B를 선택한 학생이 14명이고 두 동아리를 모두 선택한 학생이 5명이라고 하자. A 또는 B를 선택한 학생 수는
18+14-5=27
이다. A와 B를 모두 선택한 5명은 두 집단에서 각각 한 번씩 세어졌으므로 한 번 빼야 한다. 그런데 학생이 풀이에 18+14=32라고 적었다면, 이는 두 경우가 배타적이라고 확인하지 않은 오류다.
합의 법칙에서 더하기 전에는 ‘두 경우가 겹치는가’를 먼저 확인한다.
더해도 되는 경우와 빼야 하는 경우를 구분하기
빨간 공 7개와 파란 공 9개 중 하나를 고르는 상황처럼 한 공이 동시에 두 색일 수 없다면 경우가 겹치지 않는다. 따라서 선택 방법은 7+9=16가지다.
반면 1부터 30까지의 자연수 중 2의 배수 또는 3의 배수를 고르면, 2와 3의 공배수인 수가 겹친다. 2의 배수는 15개, 3의 배수는 10개, 두 조건을 모두 만족하는 6의 배수는 5개이므로
15+10-5=20
가지다. ‘또는’이라는 말만 보고 항상 더하는 것이 아니라, 두 조건을 동시에 만족하는 대상이 있는지 찾아야 한다.
곱셈이 필요한 두 단계 선택
경우의 수를 더하는 상황과 곱하는 상황도 구별해야 한다. 상의 4벌 중 하나와 바지 3벌 중 하나를 차례로 고르는 경우에는 선택이 두 단계로 이어지므로
4×3=12
가지이다. 학생이 4+3=7이라고 썼다면 상의 선택과 바지 선택을 서로 배타적인 한 가지 선택처럼 처리한 것이다. 하나의 옷차림은 상의와 바지를 동시에 포함하므로 곱셈을 사용한다.
반대로 ‘상의만 고르거나 바지만 고르는 방법’처럼 둘 중 하나만 선택하는 문제라면 4+3=7가지가 된다. 문제의 선택 구조를 먼저 문장으로 바꾸어 보는 것이 필요하다.
풀이 첫 줄에 판단을 남기는 훈련
연습할 때는 계산부터 시작하지 않고 다음처럼 짧게 기록한다.
- 두 동아리 선택: 겹치는 학생 5명이 있으므로 18+14-5
- 빨간 공 또는 파란 공: 한 공이 두 색일 수 없으므로 7+9
- 상의와 바지 선택: 두 단계가 모두 필요하므로 4×3
이 기록은 단순한 풀이 형식이 아니라 계산 기호를 결정한 근거다. 정답을 맞혔더라도 겹침 여부를 표시하지 않았다면 같은 유형의 새 문제에서 다시 확인할 항목으로 남긴다.
그림의 위치가 바뀌어도 조건만 골라내기
검증 문제에서는 좌표나 도형 그림에 부호를 바꾼 조건을 넣는다. 예를 들어 점의 위치가 바뀌어도 길이, 각, 평행 여부처럼 문제에서 실제로 요구한 성질을 직접 표시하게 한다. 그림이 오른쪽에 있는지 왼쪽에 있는지는 경우를 분류하는 데 필요하지 않을 수 있다.
도형 9개 중 길이가 같은 도형이 6개, 한 쌍의 변이 평행한 도형이 5개, 두 조건을 모두 만족하는 도형이 2개라면 조건을 만족하는 도형 수는
6+5-2=9
이다. 부호를 반대로 바꾸어 도형의 위치가 달라져도 길이·각·평행 조건을 표시하고, 겹치는 2개를 한 번 빼는 판단은 그대로 유지해야 한다. 이때 그림의 위치처럼 불필요한 정보를 스스로 제외하는지도 함께 살핀다.