수색동고3수학과외

정적분을 넓이가 아닌 구간의 누적값으로 읽기

수색동에서 통학하며 은평구 내 숭실고등학교, 선정고등학교, 충암고등학교 등으로 이어지는 고3 학습에서는 이동 시간과 과제가 겹치면서 계산을 빨리 끝내려는 습관이 생기기 쉽다. 이 학생도 정적분 문제에서 리만합의 의미와 구간 방향을 확인하지 않고 곧바로 도형의 넓이를 구했다.

학생이 처음 적은 오답

문제: f(x)=x-1일 때 ∫_-1²(x-1)dx를 구하여라.

학생의 풀이: 그래프와 x축 사이의 넓이를 구하는 것이므로 답은 양수이다.

∫_-1²(x-1)dx = 3/2

이 식은 오답이다. 정적분은 항상 기하적 넓이를 뜻하지 않는다. f(x)=x-1은 x=1에서 부호가 바뀌며, [-1,1]에서는 음수이고 [1,2]에서는 양수이다. 정적분은 부호를 포함한 누적값이므로 두 부분을 상쇄해야 한다.

구간과 부호를 먼저 확인한 수정 과정

• 틀린 줄 표시: “정적분은 넓이이므로 답은 양수이다.”
• 조건 확인: 적분 구간은 [-1,2]이고, f(x)=0인 경계점은 x=1이다.
• 식 수정: ∫_-1²(x-1)dx = [x²/2-x]_-1²
• 대입: (2-2)-((1/2)+1)=0-3/2=-3/2

그래프를 기준으로 다시 확인하면 [-1,1]의 삼각형 넓이는 2, [1,2]의 넓이는 1/2이다. 따라서 부호 있는 넓이는 -2+1/2=-3/2로 계산 결과와 일치한다. 학생은 이제 계산 전에 함수의 부호, 적분 구간, 상한과 하한의 방향을 표시한다.

조건을 바꾼 독립 검증

같은 문제를 반복하지 않고 다음 문제로 확인했다.

검증 문제: ∫₃⁰(2-x)dx를 구하여라.

원시함수는 2x-x²/2이므로

∫₃⁰(2-x)dx = [2x-x²/2]₃⁰ = 0-(6-9/2)=-3/2

상한과 하한을 바꾸면 ∫₀³(2-x)dx=3/2이고, 역순 적분은 그 반대 부호가 된다. 학생은 경계점 x=2에서 함수 부호가 바뀌는 것도 확인하며 정적분의 값과 넓이를 구분했다.