수색동고1수학과외에서 구별하는 합의 법칙과 곱의 법칙
수색동고1수학과외에서 경우의 수를 다룰 때 자주 나타나는 오류는 계산보다 상황의 구조를 먼저 판단하지 않는 데서 시작된다. 은평구 수색동의 학생이 통학과 과제를 병행하며 학교 프린트의 경우의 수 문제를 풀 때도, 선택지가 나뉘는지 선택이 이어지는지를 식으로 옮기는 과정이 중요하다.
더하는 상황과 곱하는 상황은 선택의 연결 방식이 다르다
합의 법칙은 서로 겹치지 않는 여러 경우 중 하나를 고르는 상황이다. 예를 들어 필기구 상자에 검은색 펜 4자루와 파란색 펜 3자루가 있고 펜 한 자루만 고른다면, 검은색을 고르는 경우와 파란색을 고르는 경우는 동시에 일어나지 않는다.
따라서 경우의 수는
4+3=7
이다. 반면 셔츠 3벌 중 하나와 바지 2벌 중 하나를 함께 고르는 경우에는 셔츠 선택 뒤에 바지 선택이 이어진다. 각 셔츠마다 바지 2가지를 선택할 수 있으므로
3×2=6
으로 계산한다.
학교 프린트에서 드러난 잘못된 덧셈
다음 문제에서 학생은 모자를 5개 중 하나 고르고, 운동화를 4켤레 중 하나 고르는 경우의 수를 구해야 했다. 그런데 풀이란에는 5+4=9라고 적혀 있었다.
이 식은 모자만 고르거나 운동화만 고르는 상황에 가까운 계산이다. 문제에서는 모자와 운동화를 함께 정하므로 하나의 선택이 끝난 뒤 두 번째 선택이 이어진다. 모자 하나마다 운동화 4켤레가 연결되어 있어 정확한 경우의 수는
5×4=20
이다. 학생은 정답을 다시 적기는 했지만, 풀이 전에 ‘합의 법칙과 곱의 법칙을 선택 단계로 구별하는가’를 말이나 표시로 확인하지 않았다. 이는 공식을 전혀 모르는 상태라기보다, 상황을 선택 단계로 분해하는 판단이 아직 풀이에 고정되지 않은 상태로 볼 수 있다.
경우를 나누어 더해야 할 때의 겹침 확인
모든 덧셈이 합의 법칙이 되는 것도 아니다. 숫자 1, 2, 3, 4 중 하나를 골라 홀수 또는 2의 배수인 경우를 세면 홀수는 1, 3으로 2가지이고 2의 배수는 2, 4로 2가지이다. 두 집합이 겹치지 않으므로
2+2=4
가 된다. 하지만 ‘홀수 또는 3보다 큰 수’를 세면 홀수는 {1, 3}, 3보다 큰 수는 {4}가 아니라, 조건 자체에 따라 집합을 정확히 적어야 한다. 두 조건에 같은 원소가 들어간다면 단순히 더할 수 없다. 선택지를 더하기 전에 각 경우가 서로 배타적인지 적어 보는 이유가 여기에 있다.
오답노트에 남길 것은 공식명이 아니라 바뀐 행동
학생의 풀이를 고칠 때는 문제 옆에 다음과 같이 표시하게 한다.
- 한 번에 하나를 고르는가, 여러 선택을 이어서 하는가?
- 경우를 나눴다면 같은 결과가 두 경우에 중복되지 않는가?
- 선택이 이어지면 각 단계의 경우의 수를 곱했는가?
예를 들어 과일 3종류 중 하나와 음료 5종류 중 하나를 고르는 문제에서는 ‘과일 1개 선택 → 음료 1개 선택’이라고 화살표로 적은 뒤 3×5=15를 계산한다. 반대로 버스 6개 노선 또는 지하철 2개 노선 중 하나를 선택하는 문제라면 교통수단이 하나로 제한되므로 6+2=8이다. 오답노트에는 긴 해설 대신 “선택 단계가 이어지면 곱한다”처럼 다음 풀이에서 실행할 행동 한 가지를 남긴다.
숫자를 바꾼 문제에서 선택 순서를 스스로 조정하는지 확인
이후에는 같은 문장을 반복하지 않고 조건을 바꾼 문제를 제시한다. 예를 들어 4개의 셔츠와 3개의 바지 중 하나씩 고르는 문제에서는 4×3=12를 선택 단계로 설명하는지 본다. 이어서 “빨간 우산 2개 또는 검은 우산 5개 중 하나를 고른다”는 문제에서는 2+5=7이라고 판단해야 한다.
이때 학생이 다시 덧셈과 곱셈을 혼동하면 경우의 수 공식만 더 연습시키지 않는다. 중1 문자식·방정식·그래프 표현이 불안정해 선택 단계를 문장이나 기호로 옮기지 못하는지 먼저 확인한다. 선수개념이 원인이라면 현행의 합의 법칙과 곱의 법칙 문제를 잠시 멈추고 필요한 문자식 표현을 보완할지, 현재 개념의 사례 구분을 더 연습할지를 학생 스스로 선택하게 한다.
새 숫자와 새 상황에서도 학생이 문제를 읽은 뒤 ‘서로 배타적인 경우인가, 선택이 이어지는가’를 먼저 표시한다면, 정답만 외운 것이 아니라 합의 법칙과 곱의 법칙을 실제 선택 구조에 적용하고 있는 것으로 확인할 수 있다.