불광동중3수학과외, 이차함수 축의 방정식을 변형된 조건에서도 적용하기
학생은 이차함수의 식을 보고 축의 방정식을 구하는 문제에서는 곧잘 답을 적었지만, 식의 형태가 바뀌거나 그래프의 조건이 문장으로 제시되면 풀이 첫 줄에서 멈췄다. 예를 들어 y=2(x-3)²-1을 보고 축을 x=-3이라고 적었다. 괄호 안의 부호를 그대로 옮긴 것이다. 또 y=-3(x+2)²+4에서는 축을 x=2로 썼다. 계수나 꼭짓점의 세로 좌표에는 관심을 두지 않았지만, 괄호 안의 부호는 제대로 바꾸어 읽지 못했다.
괄호 안의 수가 꼭짓점의 x좌표가 되는 과정
축의 방정식을 단순히 외우게 하면 식의 모양이 조금만 달라져도 다시 같은 실수가 나타난다. 먼저 꼭짓점의 x좌표를 확인해야 한다. 이차함수의 꼭짓점형이 y=a(x-p)²+q라면 꼭짓점은 (p,q)이고, 축은 꼭짓점을 지나는 수직선이므로 x=p이다.
따라서 y=2(x-3)²-1에서는 p=3이므로 축이 x=3이다. y=-3(x+2)²+4는 x+2=x-(-2)로 바꾸어 읽어야 하므로 꼭짓점의 x좌표는 -2, 축은 x=-2이다. 학생에게는 괄호 안의 식을 무조건 외우게 하기보다, x+2를 x-(-2)로 다시 쓰게 했다. 이 한 줄이 부호를 판단하는 기준이 되었다.
괄호 안의 수를 그대로 축에 쓰지 말고, x-p 꼴로 바꾼 뒤 p를 확인한다.
축만 묻는 식과 그래프 조건을 구별하기
학생은 축을 구하는 문제에서 세로 방향의 정보까지 함께 계산하려 했다. y=4(x-1)²+5를 보고 a=4, q=5를 모두 정리한 뒤에도 축을 쓰지 못하는 식이었다. 이때 풀이를 세 부분으로 나누지 않고, 질문이 요구하는 대상부터 표시하게 했다. 축은 x좌표에 관한 직선이므로 p만 필요하고, a와 q는 축을 정할 때 사용하지 않는다. 그러므로 이 식의 축은 x=1이다.
반대로 그래프가 오른쪽으로 4만큼, 위로 2만큼 평행이동되었다는 조건에서는 원래 함수와 이동 결과를 구분해야 한다. y=x²의 그래프를 오른쪽으로 4, 위로 2만큼 옮기면 y=(x-4)²+2가 되고, 꼭짓점은 (4,2), 축은 x=4이다. 학생은 ‘오른쪽 이동이므로 x+4’라고 적었지만, 그래프에서 x좌표가 0에서 4로 이동한 것을 수직선으로 표시한 뒤 식을 다시 확인했다. 식 안에서는 이동 방향과 부호가 반대로 나타난다는 점을 그래프와 연결한 것이다.
전개된 식에서는 축을 바로 읽을 수 없다
가장 오래 막힌 문항은 y=x²-6x+11의 축을 구하는 문제였다. 학생은 상수항 11을 꼭짓점의 y좌표로 보고 축을 x=11이라고 적었다. 이 형태는 꼭짓점형이 아니므로 괄호 안의 수를 읽을 수 없다. 학생은 완전제곱식으로 식의 형태를 바꾸었다.
y=x²-6x+11
=x²-6x+9+2
=(x-3)²+2
따라서 꼭짓점은 (3,2), 축은 x=3이다. 여기서 11을 임의로 이동시키는 것이 아니라, -6x의 계수에서 절반인 -3을 사용해 제곱을 만든다는 점을 확인했다. 완전제곱식의 계산이 흔들리면 중2에서 배운 전개식 (x-3)²=x²-6x+9만 짧게 확인한 뒤 다시 현재 문제로 돌아왔다.
서로 다른 식을 같은 기준으로 변환하기
다음에는 같은 축을 갖는 두 함수를 비교했다. f(x)=2(x+1)²-3과 g(x)=-5(x+1)²+8은 계수와 상수항이 다르지만 모두 x+1=x-(-1)을 포함한다. 두 그래프의 축은 모두 x=-1이다. 학생은 처음에 계수의 부호가 다르므로 축도 달라진다고 생각했지만, 위로 열리는지 아래로 열리는지는 a가 결정하고, 좌우 대칭의 기준은 p가 결정한다는 점을 표에 나누어 적었다.
- a: 그래프의 방향과 폭에 관련된 값
- p: 축 x=p를 정하는 값
- q: 꼭짓점의 y좌표
이 표를 이용하자 “축은 그래프가 어느 방향으로 열리는지와 관계없이 꼭짓점의 x좌표를 지나는 직선”이라고 자신의 말로 설명할 수 있었다.
불광동 학교 일정에 맞춘 짧은 변형 훈련
불광동에는 불광중학교, 연신중학교, 연천중학교가 있고, 같은 은평구의 구산중학교와 대성중학교는 참고 학교로 구분된다. 학교별 내신 일정과 학생의 주간 학습 가능 시간이 다를 수 있으므로, 한 번에 많은 문제를 풀기보다 학교 프린트에서 틀린 식의 형태를 기준으로 훈련량을 조정했다. 아파트 생활권에서 이동하는 학생은 평일에는 전개된 식 한 문제와 꼭짓점형 두 문제를 풀이하고, 주말에는 그래프 이동 조건을 문장으로 바꾼 문제를 추가했다.
연습할 때마다 학생은 첫 줄에 식의 형태를 표시했다. 꼭짓점형이면 x-p 꼴을 찾아 축을 쓰고, 일반형이면 완전제곱식으로 바꾼 뒤 축을 적었다. 답만 맞히는 것으로 끝내지 않고, 꼭짓점의 x좌표를 축에 대입해 식의 좌우가 같은지 확인했다. 예를 들어 y=-2(x-4)²+1에서 축을 x=4로 정한 뒤 x=3과 x=5를 각각 대입하면 두 값이 모두 -1이 된다. 축을 기준으로 같은 거리에 있는 두 x값에서 함수값이 같다는 검산이다.
숫자와 표현을 바꾼 독립 검증
며칠 뒤에는 도움 없이 다음 조건을 제시했다. 함수 y=3x²+12x-7의 축을 구하고, 그래프를 왼쪽으로 2만큼 이동한 함수의 축도 구하는 문제였다. 학생은 먼저 완전제곱식으로 정리했다.
y=3(x²+4x)-7
=3{(x+2)²-4}-7
=3(x+2)²-19
그러므로 원래 함수의 축은 x=-2이다. 그래프를 왼쪽으로 2만큼 이동하면 꼭짓점의 x좌표가 -4가 되므로 이동한 그래프의 축은 x=-4이다. 이번에는 ‘왼쪽이니까 식에 x-2를 넣는다’고 기계적으로 처리하지 않고, 꼭짓점의 좌표가 어떻게 변하는지 먼저 설명한 뒤 식을 확인했다.
축의 방정식 문제에서 독립 적용 여부는 같은 유형을 연속해서 맞히는지보다, 꼭짓점형·일반형·그래프 이동 조건이 바뀌었을 때도 식을 x-p 꼴로 해석하고 꼭짓점의 x좌표를 근거로 제시하는지로 확인할 수 있다.