원미동중1수학과외, 히스토그램의 막대 높이와 구간을 함께 읽는 연습
“가장 높은 막대가 있으니 그 구간의 학생 수가 가장 많다.” 히스토그램 문제에서 자주 나오는 답이다. 하지만 막대의 높이만 보고 끝내면 다른 질문에서 다시 막힌다. 어느 구간에 자료가 모였는지, 특정 구간의 도수가 얼마인지, 전체 학생 중 어느 정도인지 묻는 문제에서는 가로축의 구간과 세로축의 눈금을 함께 확인해야 하기 때문이다.
원미동의 원미중학교를 비롯해 학교생활을 병행하는 중1 학생이라면 수업에서 ‘도수분포표’라고 배운 내용을 문제집에서 ‘히스토그램’이나 ‘자료의 분포’라는 표현으로 다시 만날 수 있다. 같은 개념을 다른 말로 제시했을 때 연결하지 못하면 새로운 단원처럼 느껴진다. 이때 학교별 출제 경향을 추측하기보다, 실제 프린트와 문제집에서 구간·도수·막대의 의미를 대응시키는 연습이 먼저다.
막대그래프와 다르게 읽어야 하는 부분
막대그래프는 종류별 수량을 비교하는 경우가 많아 가로축에 사과, 배, 귤처럼 서로 떨어진 항목이 놓일 수 있다. 히스토그램은 키, 점수, 시간처럼 수량 자료를 일정한 구간으로 나누어 나타낸다. 따라서 가로축에 140 이상 145 미만, 145 이상 150 미만과 같은 구간이 이어지고 막대 사이가 붙어 있다.
예를 들어 다음 도수분포표가 있다고 하자.
- 140 이상 145 미만: 3명
- 145 이상 150 미만: 7명
- 150 이상 155 미만: 5명
- 155 이상 160 미만: 1명
히스토그램에서 두 번째 막대가 가장 높다면 ‘145 이상 150 미만인 학생이 가장 많다’고 해석한다. 그러나 “150 이상인 학생은 몇 명인가?”라는 질문에는 세 번째와 네 번째 구간의 도수인 5명과 1명을 더해 6명이라고 답해야 한다. 가장 높은 막대 하나만 고르는 방식으로는 이 문제를 해결할 수 없다.
실제 오답은 계산보다 조건 누락에서 생긴다
한 중1 학생의 학습 장면을 가정해 보면, 문제에서 “150점 이상 170점 미만인 학생 수”를 물었을 때 160 이상 170 미만 막대만 읽어 답을 적을 수 있다. 학생은 이를 계산 실수라고 기록하지만, 실제 원인은 ‘150 이상’이라는 시작 조건을 확인하지 않고 한 구간만 선택한 것이다.
또 “가장 많은 구간과 가장 적은 구간의 도수 차”를 묻는 문제에서 막대의 가로 길이를 비교하거나, 세로축 눈금이 2명 단위인데 막대 높이를 1명 단위로 읽는 경우도 있다. 서술형에서는 “두 번째 구간”이라고만 쓰고 실제 구간의 범위와 도수를 적지 않아 근거가 부족해질 수 있다.
수업에서 선생님이 ‘자료가 어느 구간에 분포하는지 보라’고 설명했는데 문제집에는 ‘도수가 큰 계급을 찾으라’고 쓰여도 두 표현을 따로 외우지 않는다. 계급은 자료를 나눈 구간이고, 도수는 그 구간에 속한 자료의 개수라는 대응표를 문제 옆에 짧게 적는다.
읽기 전에 표시할 세 가지
문제를 받으면 막대부터 보지 말고 질문의 조건에 표시한다. 첫째, 무엇을 묻는지 ‘가장 많음’, ‘합계’, ‘차이’, ‘이상·미만’ 중 하나로 표시한다. 둘째, 가로축에서 필요한 구간을 괄호로 묶는다. 셋째, 세로축 눈금의 간격을 확인한다.
예를 들어 “10분 이상 30분 미만 공부한 학생 수”라면 10 이상 20 미만과 20 이상 30 미만을 모두 선택한다. 각 막대의 높이가 4명과 6명이라면 중간식을 4+6=10으로 남긴다. 답만 10명이라고 쓰지 말고 “10분 이상 30분 미만인 두 구간의 도수를 더하면 10명이다.”라고 근거를 적는다.
표와 히스토그램을 함께 제시한 문항에서는 표의 구간과 그래프의 막대를 한 줄씩 연결한다. 표의 도수가 8인데 그래프에서 네 눈금 높이로 보인다면 세로축 한 칸이 2명을 뜻하는지 먼저 확인한다. 눈금 단위를 확인하지 않고 막대의 높이를 그대로 숫자로 옮기는 행동은 별도의 오답 원인인 ‘표현·읽기 오류’로 분류한다.
오답 기록을 다음 문제의 행동으로 바꾸기
오답 노트에는 ‘히스토그램을 틀림’이라고 쓰지 않는다. 원인을 개념·조건·계산·표현 중 하나로 정하고, 다음 문제에서 확인할 행동을 한 문장으로 적는다.
- 개념: 계급은 구간, 도수는 그 구간의 자료 개수라고 다시 말한다.
- 조건: 이상·미만에 해당하는 모든 구간에 동그라미를 친다.
- 계산: 선택한 도수를 식으로 더하고 뺀 뒤 합계가 맞는지 확인한다.
- 표현: 구간, 도수, 계산 근거를 포함해 답을 한 문장으로 쓴다.
모르는 부분은 “히스토그램이 어려워요”가 아니라 “20 이상 40 미만이면 20 이상 30 미만만 선택하나요, 30 이상 40 미만도 더하나요?”처럼 질문한다. 질문을 한 문장으로 바꾸면 막힌 지점이 구간 선택인지, 도수 읽기인지 분명해진다.
같은 문제를 다시 풀지 않고 확인하는 방법
처음 문제를 맞힌 뒤에는 숫자만 바꾼 변형을 시간 제한 안에 푼다. 5분 동안 세 개의 히스토그램 문항을 풀되, 각 문항에 ‘질문 조건 표시-세로축 눈금 확인-중간식 작성’ 세 단계를 남긴다. 원래 10분 이상 30분 미만을 물었다면 변형 문제에서는 15분 이상 35분 미만처럼 구간 경계와 질문 범위를 바꾼다.
다음 날에는 표와 히스토그램의 위치를 바꾼 문제를 풀어 본다. 그래프만 보고 답하는 것이 아니라 표에서 필요한 도수를 찾아 그래프의 해당 막대와 대조하게 한다. 일주일 뒤에는 불필요한 정보가 포함된 문항을 제시한다. 전체 학생 수나 다른 구간의 설명이 함께 있어도 질문에 필요한 구간만 골라 계산하는지 확인한다.
피곤한 날에는 새로운 문제 수를 늘리기보다 한 문제의 조건 표시와 근거 문장 작성에 집중한다. 맞힌 문제라도 풀이 시간을 기록해 지나치게 오래 걸린 문항은 재확인 대상으로 남긴다. 원미동에서 귀가 후 과제와 시험 준비를 함께 해야 하는 학생에게도 이 방식은 공부량보다 히스토그램을 읽는 절차가 실제로 유지되는지 점검하게 해 준다.
원미동중1수학과외에서 히스토그램을 다룰 때의 목표는 막대의 높이를 빠르게 고르는 데 있지 않다. 가로축의 구간, 세로축의 도수, 문제의 조건을 연결하고, 선택한 자료를 식과 문장으로 남긴 뒤 새로운 구간에서도 같은 판단을 하는 데 있다.