역곡동중3수학과외, 원에 내접한 사각형의 마주 보는 각을 판별하는 과정
학생이 다음과 같이 적은 답안에서 시작했다.
∠A+∠B=180°이므로 사각형 ABCD는 원에 내접한다.
주어진 그림에는 네 꼭짓점이 원 위에 있었지만, 답안의 근거는 잘못되어 있었다. 원에 내접한 사각형에서 180°가 되는 것은 이웃한 각이 아니라 서로 마주 보는 각이다. 따라서 먼저 그림의 꼭짓점을 시계방향으로 읽고, ∠A와 ∠C, ∠B와 ∠D를 서로 대하는 쌍으로 묶어야 한다.
∠A와 ∠C를 한 쌍으로 묶는 이유
사각형 ABCD가 한 원에 내접하면 ∠A와 ∠C는 각각 서로 다른 두 호를 바라본다. 두 각이 합쳐서 원 전체의 호를 이루므로 두 각의 합은 180°가 된다.
따라서 다음 관계가 성립한다.
∠A+∠C=180°, ∠B+∠D=180°
예를 들어 ∠A=68°, ∠C=112°라면 두 각은 마주 보는 위치이고 합이 180°이므로 내접사각형의 성질에 맞는다. 반면 ∠A와 ∠B가 68°, 112°라고 해서 두 각의 합이 180°라는 사실만으로 원에 내접했다고 판단할 수는 없다. 학생은 계산 자체는 했지만, 어떤 각을 비교해야 하는지 표시하지 않은 채 숫자만 더하고 있었다.
그림에서 먼저 표시해야 할 자리
학교 프린트의 한 문항에서 ∠D가 73°로 표시되고 ∠B를 구하도록 되어 있을 때, 학생은 ∠B와 ∠D가 이웃해 있다고 보아 180°-73°를 계산하려 했다. 하지만 꼭짓점을 A-B-C-D 순서로 따라가면 B와 D는 서로 마주 보는 각이다. 그러므로
∠B+∠D=180°
이고, ∠B=180°-73°=107°이다. 이때 풀이 첫 줄에 ‘B와 D는 마주 보는 각’이라고 적게 하면 단순한 공식 암기가 아니라 그림과 성질을 연결할 수 있다.
반대로 ∠A와 ∠B처럼 이웃한 각은 일반적으로 180°가 아니다. 두 각이 한 직선 위의 각이라는 표시가 따로 있지 않다면, 내접사각형이라는 이유만으로 이웃한 각을 보각으로 처리하면 안 된다.
외각이 주어진 문제에서 위치를 바꾸어 읽기
내접사각형에서는 한 꼭짓점의 외각이 그 외각과 마주 보는 내각과 같다. 예를 들어 변 AD를 연장하여 D에서 만든 외각이 84°이고, 구하려는 각이 ∠B라면 ∠B와 그 외각은 같은 호를 바라보므로 ∠B=84°이다.
학생이 이 문제에서 180°-84°=96°이라고 쓴다면, 외각과 이웃한 내각의 관계를 적용한 것이다. 그 계산이 필요한 경우도 있지만, 여기서는 구하는 각이 외각과 마주 보는 위치인지 먼저 확인해야 한다. 수정할 때는 그림에 외각의 한 변을 연장한 뒤, 외각이 바라보는 호와 ∠B가 바라보는 호를 연결해 표시한다. 같은 호를 확인한 뒤에야 두 각이 같다고 적는다.
역으로 내접 여부를 판단할 때 빠뜨리기 쉬운 조건
그림에서 원이 완전히 그려져 있지 않고 사각형의 네 각만 제시되는 경우도 있다. 이때 ∠A=92°, ∠C=88°라면 ∠A+∠C=180°이므로 두 각을 마주 보는 위치에 둔 볼록사각형에서는 네 점이 한 원 위에 놓이는 조건을 만족한다. 하지만 학생이 먼저 해야 할 일은 숫자를 더하는 것이 아니라, 두 각이 정말 마주 보는지 확인하는 것이다.
∠A와 ∠C가 아니라 ∠A와 ∠B의 합만 180°로 주어진 경우에는 그것만으로 내접사각형이라고 결론 내릴 수 없다. 문제에 사각형이 볼록하다는 조건이 있거나, 네 점의 배치가 내접 가능하도록 제시되어 있는지도 함께 읽어야 한다. 조건이 부족한데도 ‘합이 180°이므로 무조건 원에 내접한다’고 쓰는 습관은 고쳐야 한다.
역곡동에서 진행하는 한 문항의 수정 과정
역곡동 소재 학교로 확인된 역곡중학교의 수업 자료를 살필 때도 특정 학교의 시험 경향을 단정하기보다, 학생이 학교 프린트와 주간 학습 일정 속에서 어떤 순서로 문제를 읽는지 확인하는 방식이 적절하다. 같은 원미구의 계남중학교, 부천부곡중학교, 부천부흥중학교, 상도중학교는 역곡동 소재 학교가 아니라 통학권 참고 범위로만 구분해 볼 수 있다.
학생에게는 답을 바로 고치게 하지 않고 다음 네 칸을 적게 했다.
- 꼭짓점을 시계방향으로 읽기
- 구하려는 각과 마주 보는 각 찾기
- 두 각의 관계를 ‘합이 180°’ 또는 ‘같은 호’로 구분하기
- 계산 뒤 원래 조건에 대입하기
처음에는 ∠A=61°, ∠C를 구하는 문제에서 ∠C=119°를 얻고도 근거를 쓰지 않았다. 다시 풀 때는 ‘A와 C는 마주 보는 각이므로 ∠A+∠C=180°’라고 적은 뒤 61°+119°=180°을 확인했다. 답만 맞힌 것이 아니라 왜 그 식을 세웠는지 설명하게 한 것이다.
숫자와 제시 방식이 바뀐 문제에서 확인하기
다음 문제에서는 원을 그리지 않고 사각형 PQRS의 세 각을 제시했다.
∠P=117°, ∠Q=76°, ∠R=63°일 때, 이 사각형이 원에 내접한다면 ∠S를 구하여라.
학생은 먼저 P와 R을 마주 보는 각으로 묶었다. 117°+63°=180°이므로 조건에 맞고, Q와 S도 마주 보므로 ∠S=180°-76°=104°라고 풀이했다. 이전처럼 그림의 원 표시를 보고 공식을 떠올린 것이 아니라, 문자를 따라 마주 보는 꼭짓점을 찾아 두 쌍의 관계를 사용했다.
마지막으로 한 각을 외각으로 바꾼 문제에서는 외각과 이웃한 내각을 무조건 뺄셈하지 않고, 먼저 같은 호를 바라보는지 확인했다. 원에 내접한 사각형 문제에서 독립적으로 확인할 기준은 계산 속도가 아니라 ‘어느 두 각을 비교해야 하는가’를 도움 없이 찾아내는가에 있다.