약대동중1수학과외, 괄호 속 대응 순서를 읽고 도형의 관계를 설명하는 연습
“모르겠어요.”라고만 답하던 학생에게 △ABC와 △DEF가 서로 대응한다고 적힌 문제를 보여 주면, 실제로는 모르는 내용보다 무엇을 먼저 연결해야 하는지 정하지 못한 경우가 많다. 예를 들어 문제에 △ABC ≅ △DEF라고 쓰여 있다면 괄호의 순서에 따라 A와 D, B와 E, C와 F가 대응한다. 그런데 학생이 그림만 보고 가까이 있는 점끼리 연결하면 대응점뿐 아니라 대응변과 대응각까지 연쇄적으로 잘못 판단하게 된다.
약대동에서 중1 수학 학습을 계획할 때도 특정 학교의 시험 경향을 단정하기보다 학생의 학교와 주거지 사이 이동 시간, 귀가 시각, 실제 공부 가능 시간을 먼저 구분할 필요가 있다. 약대동 주소 소재 중학교가 확인된 자료는 없으므로 계남중학교, 부천부곡중학교, 부천부흥중학교, 상도중학교, 상일중학교는 같은 원미구의 참고 학교로만 볼 수 있다. 학교 자료의 표현이 달라도 괄호 도형에서 대응 관계를 읽고 설명하는 기본 절차는 따로 훈련해야 한다.
괄호의 순서를 그림보다 먼저 읽는 이유
한 중1 학생의 학습 장면을 가정해 보면, 학생은 △ABC ≅ △DEF를 보고 “A와 D가 같은 것 같다”고 말한 뒤 B와 F, C와 E를 연결한다. 그림에서 두 삼각형의 방향이 다르게 그려져 있기 때문이다. 그러나 합동 표기는 단순히 삼각형 이름을 나열한 것이 아니라 대응 순서를 함께 제시한다.
- 대응점: A-D, B-E, C-F
- 대응변: AB-DE, BC-EF, CA-FD
- 대응각: ∠A-∠D, ∠B-∠E, ∠C-∠F
학생에게 먼저 그림을 보지 않고 괄호 아래에 세 줄을 쓰게 한다. 첫 줄에는 점, 둘째 줄에는 두 글자 변, 셋째 줄에는 각을 적는다. 그다음 그림의 점 옆에 A↔D처럼 기호를 표시한다. 색깔에 의존하지 않고 화살표, 쌍방향 기호, 같은 밑줄을 사용하면 흑백 프린트나 교과서 표현이 달라져도 관계를 유지할 수 있다.
실제 오답은 ‘도형을 모름’보다 연결 순서에서 생긴다
다음과 같은 문항을 생각해 보자.
△PQR ≅ △XYZ일 때, 변 QR에 대응하는 변과 ∠R에 대응하는 각을 각각 쓰시오.
학생이 “QR의 모양과 비슷하게 보이는 XZ, 각 R과 가까운 각 Y”라고 답했다면 그림의 위치를 기준으로 판단한 것이다. 괄호의 대응표를 먼저 만들면 P-X, Q-Y, R-Z이므로 QR의 양 끝점 Q와 R을 각각 Y와 Z로 바꾸어 대응변은 YZ이다. ∠R은 Z에 대응하므로 대응각은 ∠Z이다. 여기서 변의 대응은 양 끝점 두 개를 함께 바꾸고, 각의 대응은 꼭짓점 한 개만 바꾼다는 차이도 확인한다.
또 다른 오답은 △ABC와 △DEF의 대응변을 AB와 EF라고 쓰는 경우다. 학생은 두 변이 그림에서 비슷한 방향으로 놓였다는 이유를 들지만, AB의 양 끝점은 A와 B이므로 대응하는 끝점 D와 E를 사용해야 한다. 따라서 대응변은 DE이다. 이처럼 답만 고치지 않고 “첫 글자 A를 D로, 둘째 글자 B를 E로 바꿨다”라고 말하게 해야 다음 표현에서도 재현할 수 있다.
‘모르겠어요’를 관계 표시 문장으로 바꾸기
질문을 받았을 때 곧바로 정답을 말하지 않고 다음 네 칸을 순서대로 채우게 한다.
- 주어진 괄호: △___ ≅ △___
- 대응점: 첫째-첫째, 둘째-둘째, 셋째-셋째
- 물어본 대상: 점인지, 변인지, 각인지 표시
- 근거 문장: 양 끝점 또는 꼭짓점의 대응을 이용함
예를 들어 △LMN ≅ △RST에서 변 MN을 묻는다면 M↔R, N↔T를 적고 “MN의 양 끝점 M, N에 대응하는 점이 R, T이므로 대응변은 RT이다”라고 쓴다. 답을 맞혔더라도 풀이 설명에서 대응표가 빠졌다면 보류로 기록한다. 학생이 문제에 직접 표시하지 않고 머릿속으로만 관계를 유지하는 행동을 줄이기 위해서다.
수행평가 문장을 짧은 문항으로 바꾸어 확인하기
수행평가 자료에 “두 삼각형의 대응 관계를 찾아 설명하시오”라는 문장이 있었다면 그 피드백을 그대로 읽고 끝내지 않는다. 이를 다음과 같은 짧은 지필형 문항으로 바꾼다.
△KLM ≅ △NQP일 때, K에 대응하는 점, LM에 대응하는 변, ∠M에 대응하는 각을 쓰고 이유를 한 문장으로 설명하시오.
정답은 K-N, LM-QP, ∠M-∠Q이다. 학생은 먼저 K↔N, L↔Q, M↔P를 표시해야 하며, LM의 대응변은 QP, ∠M의 대응각은 ∠P가 된다. 이 예시에서 주의할 점은 마지막 각의 답이 ∠Q가 아니라 ∠P라는 것이다. 괄호 순서를 대입하면 M은 셋째 자리이므로 P와 대응한다.
이처럼 학생이 자주 틀리는 지점을 짧은 문항으로 다시 만들면 “도형 단원을 다 끝냈다”는 막연한 판단 대신 대응점은 성공, 대응변은 보류, 대응각은 실패처럼 현재 상태를 나눌 수 있다. 해결된 유형까지 계속 붙잡지 않고 보류나 실패한 관계만 다음 학습 대상으로 남긴다.
다음 날에는 그림의 방향과 표현을 바꾼다
같은 문제를 바로 다시 맞힌 것만으로 독립 적용을 판단하지 않는다. 다음 날에는 △UVW ≅ △HJK처럼 문자를 바꾸고, 두 삼각형을 회전시켜 배치한 학교 프린트를 제시한다. “변 VW에 대응하는 변과 ∠U에 대응하는 각을 쓰시오”라고 물었을 때 학생이 V↔J, W↔K, U↔H를 먼저 적는지 확인한다. 답은 JK와 ∠H이다.
이번에는 “대응변의 길이가 7cm일 때 변 VW의 길이는?”처럼 단위를 추가하거나, 대응각을 두 개 고르게 하여 단순 암기를 막는다. 학생이 그림의 위치가 바뀌어도 괄호 순서와 기호 표시를 사용하면 성공으로 기록한다. 반대로 다시 “가까워 보여서”라고 설명하거나 대응표를 생략하면 그 원인만 짧게 재훈련한다.
약대동중1수학과외에서 이 주제를 다룰 때의 목표는 합동 기호를 외우는 데 있지 않다. 교과서, 문제집, 학교 프린트의 삼각형 방향과 문장이 달라져도 괄호의 순서를 근거로 대응점·대응변·대응각을 표시하고, 그 관계를 문장으로 설명하는 데 있다. 다음 날 변형 문제에서도 도움 없이 같은 절차를 시작할 수 있을 때 해당 도형 관계의 복습을 종료한다.