심곡동중3수학과외, 원 위의 네 점을 근거와 검산으로 풀어내기
학생이 원 위에 네 점 A, B, C, D가 차례로 놓인 그림을 보고 ∠ABC=∠ADC라고 적었다. 답 자체는 맞았지만, 풀이에는 “둘 다 원주각이므로 같다”라는 한 문장만 남아 있었다. 두 각이 정말 같은지 확인하려면 각의 꼭짓점이 원 위에 있는지, 두 각이 바라보는 호가 같은지까지 밝혀야 한다. 원 위의 네 점 문제는 각도를 계산하는 속도보다 그림의 조건을 식으로 옮기고, 마지막에 그 결과를 다시 확인하는 과정이 중요하다.
같은 두 점을 바라보는 원주각인지 먼저 표시하기
예를 들어 원 위에 A, B, C, D가 있고 호 AB를 제외한 원주각 ∠ACB의 크기가 38°라고 하자. 같은 호 AB를 바라보는 ∠ADB의 크기를 묻는다면, 학생은 두 각의 꼭짓점 C와 D가 원 위에 있다는 사실만 보고 바로 38°를 쓸 수 있다. 그러나 근거는 “원주각의 크기는 그 각이 바라보는 호의 크기의 절반”이라는 성질이다. ∠ACB와 ∠ADB는 모두 호 AB를 바라보므로 크기가 같다.
학생의 첫 풀이에는 종종 ∠ACB=38°에서 호 AB=38°이라고 옮기는 오류도 나타난다. 원주각이 38°이면 해당 호의 중심각은 76°이고, 다른 원주각은 다시 그 절반인 38°이다. 따라서 숫자를 옮기기 전에 ‘주어진 각’, ‘바라보는 호’, ‘구할 각’을 따로 표시하게 한다. 종이에 호 AB를 곡선으로 표시하고, 두 각에서 공통으로 만나는 끝점 A와 B를 연결하면 같은 호 조건을 눈으로 확인할 수 있다.
맞힌 답에도 빠지지 않은 조건을 채우기
원 위의 네 점을 이용한 사각형 ABCD에서는 대각선 AC를 그었을 때 한 각을 두 개의 원주각으로 나누어 생각할 수 있다. ∠ABC가 112°이고 ∠BCD가 47°인 상황에서 학생이 “반대편 각의 합은 180°이므로 ∠ADC=68°”라고 썼다면, 계산은 맞다. 하지만 이 성질을 쓰려면 ABCD가 원에 내접한 사각형이라는 조건이 필요하다. 네 점이 단순히 종이에 사각형 모양으로 놓였다는 이유만으로 대각의 합이 180°가 되는 것은 아니다.
수정할 때는 풀이 첫 줄에 “A, B, C, D가 한 원 위에 있으므로 ABCD는 원에 내접한 사각형이다”라고 적는다. 그 다음 ∠ABC+∠ADC=180°를 사용하여 112°+∠ADC=180°, 따라서 ∠ADC=68°라고 정리한다. 마지막에는 112°와 68°를 더해 180°가 되는지 확인한다. 이 검산은 단순한 계산 확인이 아니라, 사용한 원의 성질이 해당 도형에 실제로 적용되는지 되짚는 절차다.
호가 겹치지 않을 때는 보조선을 기준으로 나누기
모든 네 점 문제가 곧바로 마주 보는 각의 합으로 끝나지는 않는다. 원 위에 A, B, C, D가 있고 대각선 AC가 그어진 뒤 ∠BAC=24°, ∠CAD=31°가 주어졌다고 하자. ∠BAD를 구할 때 학생이 31°만 답하는 경우가 있다. ∠BAD는 선분 BA와 AD가 만드는 전체 각이므로, 내부의 AC를 기준으로 ∠BAC와 ∠CAD를 합해야 한다.
이때 학생이 해야 할 행동은 구하려는 각의 두 변을 먼저 확인하고, 그 사이에 보조선이나 대각선이 있는지 표시하는 것이다. 따라서 ∠BAD=∠BAC+∠CAD=24°+31°=55°가 된다. 반대로 ∠BCD와 같이 다른 꼭짓점에서 같은 현 AD를 바라보는 각을 묻는다면, 두 각이 같은 호 AD를 바라보는지 다시 살펴야 한다. 그림에서 가까워 보인다는 이유로 각을 더하거나 빼지 않고, 각의 두 변과 바라보는 호를 기준으로 연산을 선택한다.
심곡동 주소 기준으로 확인된 중학교는 없으며, 계남중학교·부천부곡중학교·부천부흥중학교·상도중학교·상일중학교는 같은 원미구의 통학권 참고 학교다. 심곡극동아파트와 심곡동광명아파트 등이 확인되는 생활권에서는 학교 이동 뒤 과제와 시험 준비 시간이 달라질 수 있으므로, 짧은 학습 시간에도 풀이 근거를 남기는 연습이 유용하다. 한 문제를 오래 붙잡기보다 그림에 같은 호를 표시하고, 성질 한 줄과 검산 한 줄을 남기는 방식으로 풀이를 완성하게 한다.
학생의 설명을 각의 언어로 다시 바꾸기
학생이 “위에 있는 각이랑 아래 있는 각이라서 같아요”라고 설명했다면, 위치가 아니라 조건을 말하도록 고친다. “∠ACB와 ∠ADB는 꼭짓점이 모두 원 위에 있고, 두 변의 끝점이 각각 A와 B이므로 같은 현 AB를 바라본다. 따라서 같은 호 AB에 대한 원주각이어서 크기가 같다”라고 말하게 한다. 이 설명을 식 옆에 적으면 그림이 회전되거나 점의 이름이 바뀌어도 판단 기준을 유지할 수 있다.
숫자와 점의 위치를 바꾼 독립 확인
다음에는 앞의 38°를 기억해서 답하지 않도록 조건을 바꾼다. 원 위의 네 점 P, Q, R, S에 대해 ∠PRS=52°일 때 ∠PQS를 구하게 하고, 그림에서는 Q와 R의 위치를 서로 반대쪽에 배치한다. 학생이 먼저 두 각의 꼭짓점 Q와 R이 원 위에 있는지 확인하고, 두 각 모두 현 PS를 바라본다고 표시하면 ∠PQS=52°라고 판단할 수 있다.
또 다른 문제에서는 ∠PQR=105°가 주어진 내접사각형 PQRS에서 ∠PSR을 구하게 한다. 학생은 P, Q, R, S가 한 원 위에 있다는 조건을 찾아 대각의 합을 사용하고, 105°+∠PSR=180°에서 ∠PSR=75°를 얻는다. 마지막에는 두 각의 합을 다시 180°로 계산한다. 숫자, 문자, 도형의 방향이 달라졌는데도 같은 호 또는 내접사각형 조건을 먼저 찾았다면, 정답을 외운 것이 아니라 원 위의 네 점을 근거로 풀이한 것이다.