오정구중3수학과외, 접선 조건을 읽고 필요한 선부터 찾는 연습
“접점에서 반지름과 접선은 수직이니까요.” 학생은 이렇게 말한 뒤 그림에 보조선을 하나 더 그었다. 그런데 그 선은 원의 중심과 접점을 잇는 선이 아니라, 문제의 다른 점을 임의로 연결한 선이었다. 계산은 시작했지만 어떤 삼각형에서 어떤 변을 사용해야 하는지 정하지 못해 풀이가 멈췄다.
접선이 포함된 중3 도형 문제는 공식을 많이 아는 것보다 조건을 정확히 골라내는 과정이 중요하다. 원의 중심, 접점, 접선 위의 점, 두 접선의 길이, 반지름과 접선의 수직 관계가 한 그림에 함께 제시되면 학생은 보이는 선을 모두 사용하려 한다. 실제 풀이에서는 먼저 접점을 확인하고, 중심과 접점을 연결한 뒤, 수직으로 만들어지는 직각삼각형만 골라야 한다.
“반지름과 접선이 수직”을 그림 전체에 적용하지 않기
한 학생은 원 밖의 점 P에서 원에 그은 두 접선의 접점을 A, B라 할 때 PA와 PB의 길이가 같다는 사실은 알고 있었다. 그러나 문제에서 PA=7, 원의 반지름이 4로 주어지자 곧바로 “PB도 7”이라고 적고 다음 단계로 넘어갔다. 답 자체는 맞을 수 있지만, 왜 두 접선의 길이가 같은지 설명하지 못하면 조건이 조금 바뀐 서술형 문제에서 다시 멈출 가능성이 크다.
이때 풀이의 출발점은 PA와 PB가 모두 접선이라는 사실이다. 중심을 O라 하면 OA와 OB는 각각 접점에서 접선에 수직이다. 따라서 △OAP와 △OBP는 OA=OB, OP는 공통, ∠OAP=∠OBP=90°를 만족하므로 RHS 합동이다. 그러므로 PA=PB가 된다. 학생에게 요구한 수정 행동은 단순히 성질을 외우는 것이 아니라, 그림에서 접점 A와 B를 표시하고 O를 각각 연결한 다음 두 직각 표시를 직접 적는 일이었다.
오정구 안에서도 까치울중학교와 수주중학교를 비롯한 학교별 내신 일정과 프린트 구성은 다를 수 있고, 고강동·여월동·오정동·원종동 학생의 주간 일정도 같지 않다. 그래서 수업에서는 특정 학교의 출제 경향을 단정하기보다, 학생이 실제로 받은 도형 문항에서 조건을 어떻게 표시하고 풀이를 시작하는지를 확인한다. 원종종합시장이나 여월휴먼시아3단지처럼 생활 동선이 다른 학생이라도 필요한 수학적 점검은 자신의 학교 자료와 풀이 기록을 중심으로 진행한다.
접점부터 표시해야 직각삼각형이 보인다
다음과 같은 문제를 제시했다.
원 O에 점 P에서 그은 접선이 원과 A에서 만나고, OA=5, OP=13일 때 PA의 길이를 구하여라.
학생의 첫 답은 8이었다. OP에서 OA를 뺀 것이다. 여기서 막힌 지점은 계산이 아니라 선분의 관계였다. PA는 OP와 OA의 차가 아니라, 직각삼각형 OAP의 직각삼각형 한 변이다. 접점 A에서 반지름 OA와 접선 PA가 수직이므로 피타고라스 정리를 적용해야 한다.
수정된 풀이는 다음과 같다.
∠OAP=90°이므로
OP²=OA²+PA²
13²=5²+PA²
PA²=169-25=144
PA=12
길이는 음수가 될 수 없으므로 PA=12이다. 학생은 계산 후 5²+12²=13²을 다시 대입해 확인했다. 이 검산은 답을 한 번 더 쓰는 절차가 아니라, 자신이 만든 직각삼각형과 빗변을 올바르게 정했는지 확인하는 행동이다.
같은 접선 문제라도 구하는 대상에 따라 식이 달라진다
학생이 자주 하는 실수는 바로 앞 문제의 식을 다음 문제에도 그대로 옮기는 것이다. 이번에는 OA=6, PA=8인 상태에서 OP를 구하게 했다. 학생은 8²-6²을 계산해 28이라고 적었다. PA²-OA²를 구한 뒤 제곱근을 빠뜨린 것이다.
두 문제는 같은 직각삼각형 OAP를 사용하지만 구하는 대상이 다르다.
OP²=OA²+PA²=6²+8²=100
따라서 OP=10이다. 학생이 고친 풀이에는 ‘구하는 변이 빗변인지 직각변인지 먼저 표시’라는 문장을 적게 했다. OA와 PA가 직각을 이루므로 OP는 빗변이고, 빗변을 구할 때는 두 직각변의 제곱을 더한다. 반대로 PA를 구할 때는 OP²-OA²를 계산한다.
이후 숫자만 바꾸지 않고 문제의 문장 순서를 바꾸었다. “점 P와 중심 O 사이의 거리가 17, 반지름이 8일 때 접선의 길이”라고 제시하자 학생은 먼저 접점 A를 표시하고 OA와 PA를 연결했다. 17²-8²=225에서 멈추지 않고 PA=15까지 구했다. 제곱근을 취하는 첫 행동이 도움 없이 나온 점이 이전 오답과 달라진 부분이었다.
두 접선이 만나는 문제에서 같은 길이의 근거 쓰기
접선 두 개가 한 점에서 만나고 원 안에 현이나 중심선이 함께 그려진 문제에서는 학생이 “접선이니까 길이가 같다”고만 적는 경우가 있다. 같은 외부점 P에서 그은 접선 PA, PB라면 PA=PB이지만, P가 같다는 조건이 빠지면 두 선분의 길이가 같다고 단정할 수 없다. 따라서 그림에서 두 접선의 출발점이 동일한지 먼저 확인해야 한다.
학생에게는 그림의 점 이름에 동그라미를 치고, “두 접선이 만나는 외부점이 같은가?”를 옆에 쓰게 했다. 같은 점 P에서 접선이 나가고 접점이 A, B라면 OA⊥PA, OB⊥PB를 표시한 뒤 △OAP와 △OBP를 비교한다. 길이만 묻는 짧은 문제에서는 접선의 길이가 같다는 성질을 사용할 수 있지만, 이유를 요구하는 문제에서는 두 직각삼각형의 합동 근거까지 이어야 한다.
또한 접선과 현을 혼동하지 않도록 선이 원과 만나는 점의 개수를 확인했다. 접선은 원과 한 점에서 만나고, 현은 두 점에서 만난다. 학생은 처음에는 원 안쪽까지 지나가는 선도 접선이라고 표시했지만, “원과 만나는 점이 하나인가?”라는 질문 뒤에는 선의 위치를 다시 확인했다. 이는 접선 조건을 단어가 아니라 그림의 교점 개수로 판별하는 행동이다.
새 배치에서도 ‘접점-중심-직각’ 순서를 유지하는지 확인
마지막 검증에서는 원을 옆으로 옮기고 접선을 기울어진 방향으로 제시했다. 중심 O에서 접점 A로 이어지는 반지름이 수평이나 수직으로 보이지 않도록 배치했으며, OP=25, OA=7을 주고 PA를 구하게 했다. 학생은 처음에 그림의 기울기 때문에 어느 선이 빗변인지 망설였지만, A를 접점으로 표시한 뒤 OA⊥PA를 적었다.
△OAP에서 OP가 빗변이므로
PA²=25²-7²=625-49=576
PA=24
로 답했다. 이어 PA=24, OA=7을 이용해 7²+24²=25²인지 역검산했다. 숫자 5와 12를 기억해 답한 것이 아니라, 접점이 달라지고 그림이 회전한 상황에서도 필요한 직각삼각형을 다시 구성한 것이다.
접선 조건 복합문제에서 확인할 학습 기준은 풀이량이 아니다. 학생이 문제를 읽자마자 접점을 찾고, 중심과 접점을 연결하고, 수직 관계를 표시한 뒤, 구하는 선분에 맞는 피타고라스 식을 스스로 선택하는지가 기준이다. 이 순서가 새로운 도형 배치에서도 유지되면 학교 프린트의 표현이 달라져도 풀이를 시작할 수 있다.