원종동중3수학과외, 원주각을 맞힌 뒤에도 호와 성질을 확인하는 법
답은 40°인데, 왜 풀이가 끝난 것은 아닐까
학생이 원주각 문제에서 ∠ACB=40°라고 적은 뒤 곧바로 다음 문항으로 넘어갔다. 그림을 보면 점 A와 B가 원 위에 있고, C도 원 위에 있으므로 주어진 원주각이 바라보는 호 AB를 먼저 확인해야 한다. 그런데 학생의 답안에는 ‘∠ACB가 호 AB를 본다’는 표시도, 사용한 성질도 없었다.
원주각의 크기는 자신이 가로지르는 호의 크기의 절반이다. 따라서 ∠ACB=40°라면 호 AB는 80°이다. 반대로 같은 호 AB를 보는 다른 원주각 ∠ADB를 구하는 문제라면 ∠ADB=40°라고 판단할 수 있다. 숫자를 맞히는 것과 같은 호 조건을 근거로 답을 설명하는 것은 별개의 과정이다.
학생이 놓친 것은 계산이 아니라 ‘어느 호를 보는가’였다
처음 풀이에서 학생은 그림 아래쪽에 있는 두 점 A, B만 보고 “두 각이 모두 40°”라고 썼다. 하지만 원주각의 위치가 달라졌을 때는 각각의 두 변이 끝나는 점을 연결해야 한다. ∠ACB의 두 변은 CA와 CB이므로 끝점 A와 B를 잇는 호가 대상이다. ∠ADB 역시 DA와 DB가 만나는 각이므로 같은 끝점 A, B를 갖는다.
이때 학생이 먼저 할 행동은 계산이 아니다. 각의 꼭짓점을 동그라미로 표시하고, 두 변의 끝점을 찾아 그 사이의 호를 연결하는 것이다. 그 다음에야 ‘같은 호 AB를 보는 원주각은 크기가 같다’는 성질을 적는다. 중심각이 함께 주어진 경우에는 원주각과 중심각의 관계를 사용해야 하므로, 같은 숫자를 무조건 옮겨 쓰면 안 된다.
같은 호를 확인한 뒤 식으로 근거 남기기
예를 들어 원의 중심을 O라 하고 ∠AOB=96°, 점 C가 원 위에 있다고 하자. ∠ACB는 호 AB를 보는 원주각이므로
∠ACB=∠AOB÷2=96°÷2=48°
이다. 학생이 자주 쓰는 잘못된 식은 ∠ACB=96°이다. 중심각과 원주각을 같은 크기로 처리한 것이다. 이 오답을 고칠 때는 ‘중심각은 호의 크기와 같고, 원주각은 그 절반’이라는 문장을 외우는 데서 멈추지 않는다. 그림에서 ∠AOB와 ∠ACB가 같은 호 AB를 본다는 표시를 한 뒤, 2를 나누는 식을 직접 작성해야 한다.
반대로 ∠ACB=48°가 주어지고 ∠AOB를 구한다면 중심각은 원주각의 두 배이므로 ∠AOB=2×48°=96°이다. 구하는 대상이 각인지 호인지에 따라 식의 방향이 달라진다. 답을 낸 뒤에는 ‘내가 구한 각이 원주각인가, 중심각인가’를 다시 묻도록 했다.
그림이 회전해도 호의 기준은 바뀌지 않는다
다음 학습에서는 앞 문제와 모양이 다른 그림을 제시했다. 점 A와 B 사이에 점 C가 위쪽에 있고, 점 D가 오른쪽에 배치되어 있었다. ∠ACD=35°, ∠ABD를 구하는 문제였다. 학생은 처음에 두 각이 비슷하게 생겼다는 이유로 35°를 적으려 했다.
이번에는 각의 양변 끝점을 직접 적었다. ∠ACD는 끝점 C, D를 연결하므로 호 CD를 본다. ∠ABD도 끝점 D, A를 연결하므로 호 AD를 본다. 두 각이 같은 호를 보는지 확인하지 않았으므로 두 각을 같다고 할 수 없다. 이처럼 원주각의 위치만 보고 판단하지 않고, 각 이름의 양 끝 글자를 이용해 호를 찾아야 한다.
학생은 해당 문제에서 주어진 ∠ACD와 구하려는 ∠ABD가 서로 다른 호를 본다는 사실을 확인한 뒤, 별도의 조건 없이는 ∠ABD를 정할 수 없다고 답했다. 이전에는 모든 원주각을 같은 값으로 처리했지만, 이제는 먼저 필요한 조건이 있는지 판단했다.
원종동의 생활 리듬에 맞춘 풀이 기록
원종동승윤노블리안아파트와 원종종합시장 주변처럼 생활 동선이 다른 곳에서는 학습 가능한 시간이 학생마다 달라질 수 있다. 그래서 긴 문제집 진도보다 한 문항의 풀이 근거를 남기는 시간을 우선 배치할 수 있다. 통학이나 이동 뒤 바로 긴 풀이를 이어가기 어려운 학생은 원주각 그림에 꼭짓점과 호만 표시하고, 이후 식을 완성하는 방식으로 학습 단계를 나눌 수 있다.
학교 정보는 원종동 소재 학교로 확인된 자료가 없으므로 특정 학교의 시험 경향으로 단정하지 않는다. 까치울중학교와 수주중학교는 같은 오정구 안의 통학권 참고 학교로만 볼 수 있다. 실제 준비에서는 학생이 사용하는 학교 프린트와 교과서 그림의 표현을 기준으로, 같은 호 표시와 성질 설명이 답안에 드러나는지 확인한다.
정답 뒤에 붙이는 세 가지 확인 문장
- 이 각의 두 변 끝점은 무엇이며, 어느 호를 보는가?
- 사용한 관계는 같은 호를 보는 원주각의 성질인가, 중심각과 원주각의 관계인가?
- 구한 값이 원주각이라면 대응하는 호 또는 중심각의 크기와 맞는가?
마지막 독립 확인에서는 중심각 110°와 같은 호를 보는 원주각을 구하게 하고, 이어서 그 원주각과 같은 호를 보는 다른 원주각을 구하게 했다. 학생은 먼저 호의 끝점을 표시한 뒤 110°÷2=55°를 계산했고, 두 번째 각에는 같은 호 조건을 적어 55°라고 설명했다. 숫자를 기억해 옮긴 것이 아니라, 그림의 배치가 바뀌어도 호를 찾고 성질을 선택하는 순서를 다시 사용한 것이다.