원종동중1수학과외, 불필요한 조건을 지우고 각도 식을 세우는 연습
“오각형의 한 외각의 크기는 40°이고, 두 내각의 크기는 각각 110°, 120°이다. 나머지 각을 구하여라.” 학생은 문제에 나온 숫자를 모두 더하려고 했다. 그러나 이 문항에서 먼저 해야 할 일은 계산이 아니라 구해야 하는 각과 실제로 필요한 조건을 골라내는 것이다. 중1 수학에서 문장제와 학교 프린트를 어려워하는 학생은 공식을 몰라서가 아니라, 문장 속 정보를 식으로 옮기는 순서를 놓치는 경우가 많다.
원종동은 원종동승윤노블리안아파트와 원종종합시장 등이 있는 생활권으로, 학생의 주거 위치와 통학 거리마다 귀가 후 공부할 수 있는 시간이 다를 수 있다. 같은 오정구의 까치울중학교와 수주중학교는 통학권 참고 자료로 볼 수 있지만, 원종동 소재 학교로 단정할 수는 없다. 따라서 학교 진도 전체를 막연히 따라가기보다 현재 학교 프린트에서 막힌 한 유형을 골라, 혼자 식을 세우는 과정을 확인하는 방식이 적절하다.
숫자를 발견하는 즉시 계산하지 않는 이유
예를 들어 다음과 같은 조건이 있다고 하자.
삼각형의 세 내각 중 한 각은 50°이고, 다른 한 각은 x°이다. 세 번째 각은 다른 한 각보다 20° 크다. 삼각형의 세 내각의 합은 180°일 때 x의 값을 구하여라.
학생이 흔히 하는 풀이는 50+20=70을 먼저 계산한 뒤, 무엇을 구한 것인지 설명하지 못하는 방식이다. 20°는 독립적으로 더해야 할 각이 아니라 ‘세 번째 각이 x보다 20° 크다’는 관계를 나타낸다. 따라서 먼저 구할 대상을 표시하고, 조건을 짧게 바꾼다.
- 첫 번째 각: 50°
- 두 번째 각: x°
- 세 번째 각: (x+20)°
- 세 각의 합: 180°
이제 식은 50+x+(x+20)=180이 된다. 괄호를 생략해 50+x+x+20=180으로 정리하고, 동류항을 묶으면 2x+70=180, 2x=110, x=55이다. 세 번째 각은 75°이므로 세 각은 50°, 55°, 75°가 되고 합은 180°이다. 핵심은 공식을 먼저 쓰는 것이 아니라 문장 속 관계를 항으로 바꾸는 데 있다.
선생님 설명 뒤에는 되지만 혼자 막히는 장면
한 중1 학생의 학습 장면을 가정해 보면, 선생님이 “구하려는 각을 x로 놓고, 다른 각은 x와 어떤 관계인지 써 보자”고 말하면 곧바로 식을 만든다. 하지만 다음 날 교과서 예제를 다시 풀 때는 문제에 있는 40°, 110°, 120°를 모두 식에 넣고, 그림에서 표시된 외각과 내각을 구분하지 못한다. 그래프의 모양처럼 그림의 형태는 기억하지만, 각의 이름과 조건이 실제로 무엇을 뜻하는지 말로 설명하지 못하는 것과 비슷한 현상이다.
이때 초등 수학의 모든 내용을 다시 펼치는 것은 현재 막힘을 해결하지 못한다. 필요한 선수 내용이 각의 단위, 괄호가 포함된 덧셈식, 또는 ‘보다 크다’라는 관계 표현이라면 그 부분만 짧게 확인한 뒤 바로 학교 프린트의 각도 문제에 적용한다. 수면과 통학 때문에 공부 시간이 일정하지 않은 학생이라면 긴 선행 계획보다, 귀가 후 20분 동안 한 문항의 조건 표시와 식 세우기만 완료했는지를 기준으로 삼을 수 있다.
학교 프린트 한 문항을 다시 읽는 순서
조건이 하나 추가된 도형 문항에서는 공식을 바로 적지 않고 다음 순서로 풀이 흔적을 남긴다.
- 구해야 하는 각을 그림에 동그라미로 표시한다.
- 주어진 각과 길이 중 현재 대상과 직접 연결되는 조건에 밑줄을 긋는다.
- ‘두 배’, ‘20° 큰’, ‘나머지’, ‘합이 180°’ 같은 관계 표현을 말로 바꾼다.
- 각 하나를 x로 두고 나머지 각을 x를 사용한 식으로 적는다.
- 식에 사용하지 않은 숫자는 왜 제외했는지 옆에 짧게 표시한다.
예를 들어 그림 바깥에 장식처럼 적힌 30°가 있고, 실제로 구하는 내각과 연결되지 않는다면 이를 억지로 식에 넣지 않는다. 반대로 외각이 40°이고 그 외각과 인접한 내각을 구하는 문제라면 180°-40°라는 관계가 필요하다. 같은 숫자라도 그림에서 어떤 각을 가리키는지 확인하지 않으면 식이 달라진다. 학생은 ‘공식이 생각나지 않았다’가 아니라 ‘구하는 대상을 잘못 표시했다’, ‘관계 문장을 숫자로만 읽었다’처럼 오답 원인을 분류해 적는다.
바로 맞힌 풀이가 실제 이해인지 확인하기
원래 문항을 다시 풀어 맞히는 것만으로는 충분하지 않다. 같은 풀이 순서를 유지한 채 조건 하나만 바꾼다. 앞의 삼각형 문제에서 50°를 65°로 바꾸고, 세 번째 각이 x보다 20° 큰 조건은 그대로 둔다. 그러면 65+x+(x+20)=180이므로 2x=95, x=47.5이다. 중1 문제에서 각의 크기가 정수가 아닐 수 있다는 점도 확인하며, 세 각의 합을 대입해 65+47.5+67.5=180인지 검산한다.
다음에는 ‘세 번째 각은 x보다 20° 크다’를 ‘x보다 20° 작다’로 바꾼다. 학생이 무조건 x+20을 쓰지 않고 x-20으로 수정하는지 본다. 그림의 위치를 회전하거나 불필요한 30°를 추가한 프린트로 바꿔도 구해야 할 대상을 먼저 표시하는지 확인한다. 마지막으로 다음 날 같은 문항을 보지 않고, 제한 시간 안에 조건 두 개만 남겨 식을 세우게 한다. 이때 설명 없이 답만 쓰지 않고 “이 숫자는 세 각의 합에 사용했고, 이 조건은 x와의 관계로 바꾸었다”고 말할 수 있으면 독립 적용 여부를 판단할 수 있다.
원종동중1수학과외에서 이 주제를 다룰 때의 목표는 많은 도형 공식을 외우는 데 있지 않다. 학교 프린트의 한 문항에서 필요한 조건과 제외할 정보를 구분하고, 그림의 대상과 문장의 관계를 하나의 식으로 연결한 뒤, 숫자나 부호가 바뀌어도 같은 순서를 재현하는 데 있다. 그 과정을 수행평가의 풀이 설명과 지필시험의 계산 검산까지 이어 갈 수 있을 때 해당 오답 유형을 마무리할 수 있다.