여월동중3수학과외, 접선 조건이 바뀌어도 원리로 푸는 법
학생이 원의 그림에서 접점을 확인한 뒤 곧바로 “접선과 현이 이루는 각은 중심각의 절반”이라고 적었다. 그런데 문제에서 구하는 각이 접선과 반지름 사이의 각인지, 접선과 현 사이의 각인지 구분하지 않아 답이 어긋났다. 숫자와 그림이 조금만 달라져도 같은 공식을 기계적으로 대입하는 풀이에서 자주 나타나는 장면이다.
여월동 중3수학과외에서는 접선 조건이 포함된 복합문제를 풀 때 계산보다 먼저 그림의 관계를 읽도록 훈련한다. 여월동의 까치울중학교와 부천여월중학교를 비롯해 오정구 내 학교를 준비하는 학생도 학교별 시험 일정과 주간 학습량이 다르므로, 정해진 문제 수보다 새로운 그림에서 첫 판단을 스스로 내리는지를 확인하는 방식이 적절하다. 수주중학교는 같은 오정구의 통학권 참고 학교로만 살펴보며, 여월동 소재 학교로 구분해 단정하지 않는다.
접점에서 중심까지 선을 그어야 하는 이유
한 학생은 다음과 같은 문제에서 55°를 답으로 적었다.
원 O에서 직선 l이 원에 점 T에서 접한다. 중심 O와 접점 T를 연결하고, 현 TA가 반지름 OT와 이루는 각이 35°일 때 접선 l과 현 TA가 이루는 예각을 구하여라.
학생은 현 TA와 반지름 OT가 이루는 각 35°를 그대로 접선과 현의 각이라고 보았다. 하지만 접선과 반지름은 접점에서 수직이므로, 접선 l과 현 TA가 이루는 예각은 90°−35°=55°이다. 이 문제에서 처음 해야 할 행동은 공식을 찾는 것이 아니라 접점 T를 표시하고 OT⊥l을 식으로 옮기는 것이다.
접선 조건의 기본은 분명하다. 원의 접점에서 그은 반지름은 접선과 수직이다. 따라서 반지름과 현 사이의 각이 주어졌다면 접선과 현 사이의 각은 90°에서 그 각을 빼야 한다. 그림이 회전되거나 접선이 수평으로 놓이지 않아도 이 관계는 변하지 않는다.
학생의 풀이에서 빠진 한 줄
학생의 답안에는 다음 두 줄만 있었다.
∠OTA=35°
따라서 접선과 현의 각도 35°
여기서 빠진 문장은 OT⊥l이다. 수정할 때는 문제의 그림에 새로운 선을 마구 추가하지 않고, 이미 주어진 접점 T와 중심 O를 연결한다. 그 뒤 직각 표시를 하고, 구하는 각을 ∠lTA처럼 접선과 현이 만나는 각으로 다시 표시한다. 두 각이 직각을 이루는 분할 관계임을 확인하면 90°−35°라는 식이 자연스럽게 나온다.
반대로 현 TA와 접선 l의 각이 35°로 직접 주어진다면 반지름 OT와 현 TA의 각은 55°가 된다. 같은 숫자가 등장해도 무엇이 주어진 각이고 무엇을 구하는지에 따라 식이 바뀐다. 학생에게 “35°가 어느 두 선 사이의 각인가?”를 말로 설명하게 하는 이유가 여기에 있다.
접선과 현의 각을 원주각으로 연결하기
조금 더 복잡한 문제에서는 반지름이 직접 그려져 있지 않고, 접선과 현이 이루는 각만 제시된다. 이때 학생은 그림에서 보이지 않는 반지름을 떠올리거나 접선-현 각의 정리를 사용해야 한다.
원에 점 A, B, T가 있고, 점 T에서의 접선과 현 TA가 이루는 각이 48°이다. 호 TA에 대한 원주각 ∠TBA의 크기를 구하여라.
접선과 현이 이루는 각의 크기는 그 현이 원주에서 만드는 각과 같다. 따라서 ∠TBA=48°이다. 그러나 학생은 “접선은 반지름과 수직이므로 90°−48°=42°”라고 답했다. 42°는 특정한 반지름과 현 사이의 각을 구할 때 나오는 값이지, 호 TA를 보는 원주각의 값이 아니다.
이 오류를 고칠 때는 정리를 한 문장으로 외우게 하는 대신 관계를 두 방향으로 연결한다. 접선과 반지름은 90°를 이루고, 중심각은 같은 호를 보는 원주각의 두 배이며, 접선과 현의 각은 그 현을 보는 원주각과 같다. 문제에서 실제로 묻는 선과 각을 표시한 뒤 필요한 관계 하나만 선택해야 한다.
같은 그림에서 정리를 섞어 쓰지 않기
예를 들어 접선과 현 TA의 각이 48°이고 중심 O가 표시되어 있다면, 반지름 OT와 현 TA의 각은 42°이다. 삼각형 OTA에서 OT=OA이므로 두 밑각이 같아 ∠OAT=42°가 되고, 중심각 ∠TOA는 180°−42°−42°=96°이다. 같은 호 TA를 보는 원주각은 48°로 중심각의 절반이다.
이렇게 한 문제 안에서 48°, 42°, 96°가 모두 나타날 수 있다. 학생이 어느 숫자를 답으로 골라야 하는지는 계산 능력보다 “구하는 각의 두 변이 무엇인가”를 확인하는 데 달려 있다. 답안에는 최소한 각의 이름을 적게 한다. 단순히 48°라고 쓰는 대신 “∠TBA=48°”라고 적으면 다른 각을 잘못 선택할 가능성이 줄어든다.
부호와 표현이 바뀐 문제에서 첫 행동 확인하기
실제 학습에서는 그림만 바꾸는 것이 아니라 조건의 표현도 바꾼다. “접선과 현이 이루는 각” 대신 “접점에서 현과 접선이 만나는 예각”이라고 쓰거나, 그림을 반시계 방향으로 돌려 접선을 비스듬히 배치할 수 있다. 이때 학생이 그림의 모양을 기준으로 판단하면 접선이 위에 있을 때와 아래에 있을 때 답이 달라진다고 생각한다.
수정 행동은 세 단계로 짧게 고정한다.
- 접선과 원이 만나는 점을 T로 표시한다.
- 중심 O와 접점 T를 연결하고 OT⊥접선임을 적는다.
- 구하는 각의 두 변을 이름으로 써서 90°를 더할지 뺄지 판단한다.
예를 들어 접선과 현이 이루는 각이 62°일 때 반지름 OT와 현의 각을 묻는다면 90°−62°=28°이다. 반대로 반지름과 현의 각이 28°일 때 접선과 현의 각을 묻는다면 90°−28°=62°이다. 숫자를 외워서 답하는 것이 아니라 두 각이 직각 안에서 합쳐진다는 근거를 먼저 적어야 한다.
새 그림에서 독립적으로 검증한 장면
다음 학습에서는 이전 문제와 숫자와 배치를 모두 바꾸었다. 접점 P에서 그은 접선이 그림의 왼쪽 아래로 향하고, 중심 O는 접점의 오른쪽에 놓였다. 현 PQ와 반지름 OP 사이의 각은 27°였으며, 문제는 접선과 현 PQ가 이루는 둔각을 구하라고 했다.
학생은 먼저 OP와 접선이 수직임을 표시했다. 이어 접선과 현이 이루는 예각을 90°−27°=63°로 계산한 뒤, 문제에서 둔각을 물었으므로 180°−63°=117°이라고 적었다. 그림이 처음 연습한 모양과 달랐지만 접점, 직각, 구하는 각의 종류를 차례로 확인한 결과였다.
마지막으로 접선과 현의 각이 41°이고, 같은 호를 보는 원주각을 구하는 문제도 제시했다. 학생은 반지름을 이용해 49°를 만들지 않고, 접선-현 각과 원주각이 같은 호를 본다는 근거를 적어 원주각을 41°로 구했다. 두 문제에서 답이 달라진 이유도 “첫 문제는 직각을 나눈 각, 두 번째 문제는 같은 호를 보는 각”이라고 설명했다.
이 정도로 숫자, 부호, 도형의 방향, 구하는 대상이 달라져도 접점을 찾고 필요한 관계를 선택한다면 접선 단원의 풀이가 기억된 정답에 머물지 않는다. 여월동중3수학과외의 점검도 같은 문항을 다시 맞히는 데서 끝내지 않고, 학생이 새로운 그림에서 OT⊥접선을 먼저 표시하고 각의 근거를 말하는지까지 확인하는 데 초점을 둔다.