수청동중3수학과외, 이차방정식의 해를 계산보다 먼저 검산하는 습관
학생은 다음 문제를 풀고 답안에 x=2, 3이라고 적었다.
x²-5x+6=0의 해를 구하여라.
인수분해 과정은 정확했다.
x²-5x+6=(x-2)(x-3)=0
따라서 x=2 또는 x=3이라는 결론도 맞다. 그러나 풀이를 마친 뒤 “왜 이 두 수가 해인가?”라고 묻자 학생은 “인수분해해서 나왔기 때문”이라고만 답했다. 계산 결과는 맞았지만, 이차방정식에서 해가 어떤 조건을 만족하는 값인지까지 확인하지 않은 상태였다.
인수분해 결과와 방정식의 조건을 따로 확인하기
이차방정식의 해는 단순히 식에서 얻은 숫자가 아니라, 원래 방정식을 참으로 만드는 값이다. 따라서
x²-5x+6=0
에서 x=2를 대입하면 4-10+6=0, x=3을 대입하면 9-15+6=0이 된다. 두 값 모두 원래 식을 0으로 만들기 때문에 해로 인정된다.
학생이 처음에는 인수분해한 식만 보고 답을 옮겼다면, 수정 후에는 풀이 끝에 ‘원식 대입’이라는 한 줄을 남기도록 했다. 인수분해 결과가 맞아 보여도 부호를 잘못 옮겼거나 상수항을 다르게 읽었을 가능성을 확인하기 위해서다.
부호를 바꿔 쓴 한 줄에서 해가 달라진다
다음 문제에서는 학생이 처음에 아래처럼 적었다.
2x²-7x+3=0
(2x-1)(x-3)=0
x=1/2 또는 x=3
이 풀이 역시 맞다. 그러나 학생은 비슷한 문제인 2x²+7x+3=0에서도 같은 답을 적으려 했다. 계수의 부호만 바뀌었는데 앞 문제의 해를 기억해서 옮긴 것이다.
이 경우에는 원래 식의 부호를 먼저 확인해야 한다.
2x²+7x+3=(2x+1)(x+3)=0
따라서 x=-1/2 또는 x=-3이다. 두 해를 원식에 대입하면 각각 0이 되어 앞 문제와 다른 결과임을 확인할 수 있다. 학생에게는 인수분해 전에 x²항, x항, 상수항의 부호에 각각 밑줄을 긋게 했다. 해를 구한 다음에는 두 값을 번호로 나누어 하나씩 대입하게 했다.
‘해가 되는 조건’과 ‘문장에서 허용되는 값’ 구분하기
모든 이차방정식 문제가 인수분해 결과를 그대로 답으로 쓰는 형태는 아니다. 예를 들어
x²-6x+8=0
을 풀면 x=2, 4이다. 두 값은 모두 방정식의 해다. 하지만 문장제에서 x가 길이, 사람 수, 시간처럼 특정 의미를 가진다면 방정식의 해인지 확인한 뒤 문제의 조건에도 맞는지 따져야 한다.
예를 들어 어떤 양을 x라 하고 x²-6x+8=0을 세웠는데, 문제에서 x가 ‘자연수인 한 변의 길이’라고 했다면 2와 4 모두 가능한지 원래 도형이나 관계식에 다시 대입해야 한다. 반대로 x가 경과 시간이고 해가 -2와 4라면 -2는 방정식의 해일 수 있어도 경과 시간이라는 조건에는 맞지 않는다.
학생이 자주 하던 실수는 음수 해를 무조건 지우거나, 양수 해를 무조건 답으로 남기는 것이었다. 이제는 먼저 “원래 방정식을 만족하는가?”를 확인하고, 그다음 “문제에서 허용하는 값인가?”를 구분해 기록한다.
계산 전 조건을 읽고, 계산 후 의미를 되돌려 보기
수청동에서 중3 수학 학습을 계획할 때는 매홀중학교의 시험 범위와 수행평가 일정을 먼저 확인하고, 평일 귀가 시간에 맞춰 이차방정식 풀이와 검산 시간을 나누는 방식이 현실적이다. 같은 오산시의 가수중학교, 대호중학교, 문시중학교, 성호중학교는 참고할 수 있는 학교이지만 수청동 소재 학교로 단정하지 않고, 각 학교의 일정과 범위는 별도로 확인해야 한다. 수청거리 등 생활권 이동 시간을 고려하면 평일에는 새로운 유형을 많이 늘리기보다 한 문제를 풀고 검산하는 과정을 짧게 반복하는 편이 효율적이다.
수업에서는 먼저 문제의 조건에 표시한다. 미지수가 무엇인지, 해에 제한이 있는지, 답을 어떤 단위로 써야 하는지를 확인한 뒤 방정식을 푼다. 풀이가 끝나면 다음 세 가지를 순서대로 점검한다.
- 구한 값이 원래 이차방정식을 0으로 만드는가?
- 두 해를 빠뜨리거나 부호를 바꾸지 않았는가?
- 문제의 의미와 조건에 맞는 값만 최종 답으로 남겼는가?
숫자와 식의 모양이 바뀐 문제에서 확인하기
이후에는 앞서 풀었던 식을 그대로 다시 주지 않고 다음 문제를 제시했다.
3x²-10x+3=0을 풀고, 두 해를 원래 식에 대입하여 확인하여라.
학생은 먼저
3x²-10x+3=(3x-1)(x-3)
으로 정리하고 x=1/3 또는 x=3을 구했다. 이어 x=1/3을 대입하면 3×1/9-10/3+3=0, x=3을 대입하면 27-30+3=0이므로 두 값 모두 해임을 확인했다.
이번에는 계수가 2가 아니고, 해 중 하나가 분수가 되었지만 학생은 이전 답을 기억해 쓰지 않았다. 원식의 조건을 읽고, 인수분해한 뒤, 두 해를 각각 검산하는 순서를 스스로 꺼냈다. 이차방정식에서 계산이 끝나는 지점은 답을 적는 순간이 아니라, 그 값이 원래 식과 문제의 조건을 함께 만족하는지 확인한 뒤다.