금암동중1수학과외, 히스토그램의 막대만 보지 않고 핵심 조건으로 식 만들기
히스토그램 문제에서 막대의 높이만 보고 “가장 높은 구간이 가장 큰 값”이라고 답한 뒤, 정작 그 막대가 나타내는 자료의 범위와 도수를 설명하지 못하는 경우가 있다. 한 중1 학생이 “20 이상 30 미만인 학생 수”를 구하는 문제에서 그래프 모양을 보고 가장 높은 막대를 고른 뒤, 전체 학생 수를 묻는 식에 그 구간의 숫자만 적은 장면이 이에 해당한다. 계산 실수라기보다 그래프에서 어떤 조건을 꺼내 식으로 옮길지 정하지 못한 것이다.
막대의 모양보다 먼저 읽어야 할 것
히스토그램은 연속된 계급을 가로축에 나타내고, 각 계급에 속하는 자료의 개수를 세로축에 나타낸다. 예를 들어 다음과 같은 도수분포표가 있다고 하자.
- 10 이상 20 미만: 3명
- 20 이상 30 미만: 7명
- 30 이상 40 미만: 5명
이 자료를 히스토그램으로 나타냈을 때 20 이상 30 미만인 막대의 높이는 7이다. “20 이상 40 미만인 학생 수”를 묻는다면 한 막대의 높이를 고르는 것이 아니라 해당되는 두 계급을 찾아 식을 만들어야 한다.
식은 7+5=12이고, 답은 12명이다. 여기서 20 이상 40 미만은 20 이상 30 미만과 30 이상 40 미만을 합친 범위다. 반대로 “30 미만인 학생 수”라면 3+7=10이다. 끝값의 포함 여부도 확인해야 하므로 30 이상 40 미만을 30 초과 40 이하처럼 임의로 바꾸어 읽지 않는다.
문제의 긴 문장에서 조건을 줄이는 순서
학교 프린트의 변형문제에서는 그래프와 함께 조사 대상, 조사 날짜, 자료를 모은 장소, 전체 인원 같은 정보가 한꺼번에 제시되기도 한다. 학생은 문장을 끝까지 읽기 전에 그래프에서 가장 높은 막대부터 찾거나, 눈에 띄는 숫자를 모두 식에 넣는다. 이때 문제 옆에 다음 세 칸만 만든다.
- 무엇을 구하는가: 특정 구간의 도수인지, 전체 도수인지, 두 구간의 합인지
- 어느 구간을 사용하는가: 계급의 시작값과 끝값
- 그래프에서 어떤 수를 읽는가: 각 막대의 높이 또는 표에 적힌 도수
예를 들어 “금암마을7단지와 세교12단지 학생들의 하루 수학 학습 시간을 조사하였다”라는 문장이 있어도, 질문이 “40분 이상 60분 미만인 학생 수”라면 주거지 이름이나 조사 장소는 식에 들어가지 않는다. 해당 계급의 도수 두 개만 찾아 더한다. 불필요한 정보를 지우는 것은 내용을 대충 읽는 것이 아니라 질문에 필요한 조건을 남기는 작업이다.
히스토그램과 막대그래프를 혼동하는 순간
학생이 히스토그램을 막대그래프처럼 읽으면 막대 하나를 독립된 항목으로 생각하기 쉽다. 막대그래프에서는 가로축의 항목이 ‘사과, 배, 귤’처럼 서로 떨어진 범주일 수 있지만, 히스토그램의 10 이상 20 미만, 20 이상 30 미만은 수의 범위를 나눈 계급이다. 따라서 인접한 막대는 연결된 자료 구간을 뜻한다.
또한 막대의 높이는 자료의 값 자체가 아니라 그 구간에 들어 있는 자료의 개수다. 20 이상 30 미만 막대가 가장 높다고 해서 모든 자료가 20에서 30 사이에 있다는 뜻은 아니다. “가장 많은 자료가 속한 구간”이라는 해석과 “자료의 최댓값”이라는 해석을 분리해 말해야 한다.
한 중1 학생의 학습 장면을 가정해 보면, 학생은 30 이상 40 미만 막대가 가장 높다는 이유로 “평균이 35분이다”라고 썼다. 그러나 히스토그램만으로 각 자료가 35분이라고 정할 수는 없다. 확인 가능한 것은 해당 구간의 도수가 가장 크다는 점이다. 학생은 답안 옆에 ‘막대 높이=도수, 가로 구간=자료의 범위’라고 적고, 그래프에서 읽은 수와 해석 문장을 분리했다.
한 단계만 다시 수행하는 오답 훈련
틀린 문제 전체를 여러 번 베끼게 하지 않고, 실패한 한 단계를 다시 수행한다. 먼저 질문에 밑줄을 긋고, 가로축에서 해당 범위를 표시한다. 그다음 필요한 막대의 높이에 동그라미를 치고, 숫자를 식으로 옮긴다. 마지막으로 식 아래에 “30 이상 40 미만 구간의 도수”처럼 숫자의 의미를 적는다.
예를 들어 학생이 10 이상 40 미만의 학생 수를 구하면서 7+5만 계산했다면, 빠뜨린 10 이상 20 미만 구간의 막대 높이 3을 찾는 과정만 다시 한다. 최종 식은 3+7+5=15이다. 반대로 20 이상 40 미만을 구하는 문제에 3까지 더했다면, 범위의 시작값 20을 가로축에서 다시 확인하고 7+5=12로 수정한다.
상대도수를 묻는 경우에는 먼저 전체 도수를 구한 뒤 특정 계급의 도수를 전체 도수로 나눈다. 위 자료에서 20 이상 30 미만의 상대도수는 7÷15이다. 도수와 상대도수를 같은 숫자로 쓰지 않도록 답안 옆에 단위를 표시한다. 도수는 ‘명’, 상대도수는 보통 소수나 비율로 나타낸다.
표현이 달라진 프린트에서 확인하기
수정한 방법이 독립적으로 적용되는지는 같은 문제를 곧바로 다시 맞히는 것으로 판단하지 않는다. 다음에는 막대의 높이를 바꾸고 질문의 표현도 바꾼다. 계급별 도수가 0 이상 10 미만 4명, 10 이상 20 미만 6명, 20 이상 30 미만 2명이라면 “10분 이상 30분 미만”은 6+2=8명이다. “10분 미만”은 4명이며, “20분 이상”은 2명이다.
불필요한 조사 인원 20명이라는 정보가 추가되어도 먼저 계급별 도수의 합이 12명임을 확인하고, 질문에 필요한 범위만 사용한다. 다음 날에는 표 없이 히스토그램만 보고 식을 만들고, 일주일 뒤에는 가로축의 단위가 분이 아닌 시간으로 바뀐 자료를 제시한다. 0.5시간 이상 1시간 미만처럼 단위가 바뀌면 0.5시간=30분임을 확인한 뒤 계급을 읽는다.
보류·복귀 기준도 정해 둔다. 30초 동안 질문이 요구하는 범위를 찾지 못하면 막대 높이를 추측하지 않고 문제의 조건으로 돌아간다. 범위, 필요한 도수, 식의 의미를 표시한 뒤 계산한다. 그래프의 모양을 기억하는 데서 멈추지 않고 새로운 계급과 표현에서도 필요한 조건만 골라 식으로 만들 수 있다면 이 학습 항목을 마무리할 수 있다.
금암동 생활권에서의 적용
금암동에는 문시중학교가 확인되며, 가수중학교·대호중학교·매홀중학교·성호중학교는 같은 오산시의 참고 학교다. 금암마을7단지와 세교12단지처럼 생활권과 이동 거리가 다른 경우 학교 프린트를 정리하는 시간도 학생마다 달라질 수 있다. 따라서 정해진 분량보다 한 문제에서 그래프의 계급, 도수, 질문 조건을 실제로 연결했는지를 기준으로 학습을 조정하는 것이 적절하다.