“자료를 크기순으로 배열하지 않고 가운데 있는 값을 골랐어요.” 영통구의 한 중3 학생은 대표값 문제에서 평균은 계산했지만, 중앙값과 최빈값을 구하는 순간부터 답의 근거를 잃었다. 특히 문제에 제시된 자료의 개수와 이상값 여부가 바뀌자, 앞에서 외운 풀이를 그대로 적용하려다 서로 다른 대표값을 같은 방식으로 처리했다.
영통구중3수학과외, 대표값을 고르는 기준부터 다시 세우다
대표값 문제는 평균·중앙값·최빈값의 공식을 한 번 적는 것으로 끝나지 않는다. 주어진 자료가 무엇을 나타내는지, 특정 값이 반복되는지, 지나치게 크거나 작은 값이 포함되어 있는지를 살펴본 뒤 자료의 특징을 가장 잘 보여 주는 값을 선택해야 한다. 학생은 학교 프린트의 “다음 자료의 대표값으로 적절한 것을 고르시오”라는 문항에서 계산부터 시작했지만, 실제로 필요한 첫 행동은 자료의 형태를 분류하는 일이었다.
자료: 12, 13, 13, 14, 15, 16, 42
학생은 평균을 계산해 약 17.9를 얻은 뒤 “평균이 자료의 중심이므로 가장 적절하다”고 설명했다. 그러나 42처럼 다른 값보다 유난히 큰 자료가 포함되면 평균은 그 값의 영향을 크게 받는다. 이 경우 자료의 전형적인 위치를 나타내는 값으로는 중앙값 14가 더 적절할 수 있다. 다만 대표값은 문제의 목적과 자료의 특성에 따라 달라지므로, 모든 상황에서 중앙값만 정답이라고 단정해서는 안 된다.
계산 전에 자료의 개수와 반복 여부를 표시하기
학생의 풀이를 다시 쓰게 할 때 “공식을 외워라”라고 하지 않고, 자료 옆에 세 가지 표시를 하도록 했다. 먼저 자료의 개수를 세고, 중앙값을 구할 때는 크기순 배열 여부를 확인하며, 같은 값이 반복되면 그 횟수를 따로 적는다. 위 자료는 이미 오름차순이므로 자료의 개수는 7개이고 네 번째 값이 중앙값이다. 따라서 중앙값은 14이다.
자료의 개수가 짝수일 때는 가운데 두 수의 평균을 구해야 한다. 예를 들어 8, 10, 11, 15, 18, 20이라면 중앙값은 세 번째와 네 번째 값의 평균인 (11+15)÷2=13이다. 학생은 이전에는 여섯 개 자료에서 네 번째 값을 임의로 선택했지만, “가운데 두 자리”를 괄호로 묶은 뒤 평균을 내는 행동으로 바꾸었다.
같은 자료라도 무엇을 묻는지에 따라 선택이 달라진다
최빈값은 가장 많이 나타나는 값이다. 2, 3, 3, 4, 5, 5처럼 두 값이 같은 횟수로 반복되면 최빈값은 3과 5 두 개가 될 수 있고, 모든 값이 한 번씩만 나타나면 최빈값이 없다고 판단해야 한다. 학생은 “가장 큰 수가 대표값”이라고 말한 적이 있어, 값의 크기와 출현 횟수를 혼동하고 있었다.
이 차이를 확인하기 위해 다음 두 문제를 나란히 놓았다.
- 월별 방문 횟수처럼 수치 전체의 평균적인 수준을 묻는 경우에는 평균을 계산한다.
- 학생들이 가장 많이 선택한 방과후 활동처럼 자주 나타나는 항목을 묻는 경우에는 최빈값을 찾는다.
평균은 모든 자료를 더해 자료의 개수로 나누고, 중앙값은 배열된 자료의 가운데를 찾으며, 최빈값은 반복 횟수를 비교한다. 학생은 문제의 명사를 읽고 곧바로 평균을 쓰는 대신, “전체 수준인가, 가운데 위치인가, 가장 자주 나타나는 값인가?”를 먼저 적은 뒤 계산하도록 연습했다.
표와 문장으로 바뀌어도 같은 판단을 유지하기
다음에는 숫자 목록 대신 도수표를 제시했다.
통학 시간 10분, 20분, 30분, 40분
학생 수 2명, 7명, 5명, 1명
이 자료에서 최빈값은 학생 수가 가장 많은 20분이다. 중앙값을 구하려면 도수를 누적해 전체 15명의 자료에서 여덟 번째 자료가 어느 통학 시간에 해당하는지 찾아야 하므로 20분이다. 평균은 (10×2+20×7+30×5+40×1)÷15=360÷15=24분이다. 세 대표값이 서로 다르지만 각각의 산출 기준은 분명하다. 학생은 처음에는 도수표에서 값 20만 보고 최빈값과 중앙값을 같은 이유로 설명했으나, 누적 인원을 적어 중앙값의 위치를 확인했다.
영통구에서는 광교중학교, 광교호수중학교, 동수원중학교, 망포중학교, 매원중학교, 매탄중학교 등이 대표 학교로 확인되지만, 이를 망포동·매탄동·영통동·원천동·이의동·수원하동의 모든 학생이 같은 통학권에 있다고 확대해 말할 수는 없다. 실제 학습 일정은 학교와 거주지에 따라 달라진다. 영통주공9단지나 래미안영통마크원2단지처럼 생활권 자료에서 확인되는 주거지에서도 방과후 이동 시간이 다를 수 있으므로, 수업에서는 이동 뒤 남은 자습시간 자료를 직접 표로 바꾸어 대표값을 선택하게 하는 방식이 현실적이다.
통학 시간 자료에서 대표값을 독립적으로 고르기
수정된 학생에게는 숫자와 질문을 바꾼 문제를 제시했다.
한 주 동안 자습에 사용한 시간은 35, 40, 40, 45, 50, 180분이다. 이 자료의 전형적인 자습 시간을 나타내기에 적절한 대표값과 그 이유를 쓰시오.
학생은 먼저 자료가 오름차순인지 확인하고, 6개이므로 중앙의 두 값 40과 45를 표시했다. 중앙값은 42.5분이다. 평균은 65분으로 계산되지만 180분의 영향을 크게 받으므로, 일반적인 자습 시간을 나타내려는 목적이라면 중앙값이 더 적절하다고 설명했다. 이어 “만약 전체 자습시간의 평균량을 비교하려는 목적이라면 평균도 사용할 수 있다”고 덧붙였다.
마지막으로 180을 48로 바꾼 자료를 주었을 때도 학생은 정답을 기억해 고르는 대신, 이상적으로 큰 값이 있는지 먼저 살피고 평균과 중앙값을 각각 계산했다. 자료의 개수, 반복되는 값, 이상값, 질문의 목적이 달라져도 대표값을 선택하는 근거를 다시 말할 수 있을 때 비로소 독립 적용으로 확인했다.