영통동중3수학과외, 숫자와 부호가 바뀌어도 편차 원리 적용하기
학생이 다음과 같이 편차를 계산했다.
자료 4, 6, 8의 평균은 6이므로 편차는 4, 6, 8이다.
평균을 구한 과정은 맞았지만, 마지막에 적은 값은 편차가 아니라 원자료였다. 영통동중3수학과외에서 편차를 다룰 때 자주 확인하는 지점도 바로 여기다. 평균을 계산할 수 있는지보다 각 자료가 평균에서 얼마나 떨어져 있는지를 숫자와 부호로 표현하는지가 중요하다.
평균값과 편차를 같은 수로 쓰지 않는 이유
편차는 자료에서 평균을 뺀 값이다. 따라서 자료를 x, 평균을 m이라고 하면 편차는 다음과 같이 정리한다.
편차 = 자료값 - 평균
자료 4, 6, 8의 평균은 6이다. 그러므로 각 자료의 편차는 다음과 같다.
- 4의 편차: 4 - 6 = -2
- 6의 편차: 6 - 6 = 0
- 8의 편차: 8 - 6 = 2
학생은 처음에 평균 6을 구한 뒤 원자료를 그대로 옮겼다. 식을 한 줄에 몰아서 쓰면서 ‘자료에서 평균을 뺀다’는 절차가 사라진 것이다. 수정할 때는 평균을 먼저 동그라미로 표시하고, 각 자료 아래에 ‘자료값 - 평균’ 형태를 반복해서 적게 했다. -2, 0, 2처럼 부호까지 남겨야 편차가 완성된다는 점도 함께 확인했다.
평균보다 작으면 마이너스가 붙는다
편차의 부호는 단순한 계산 표시가 아니다. 평균보다 작은 자료는 음의 편차, 평균보다 큰 자료는 양의 편차를 갖는다. 평균과 같은 자료의 편차만 0이다.
예를 들어 자료가 3, 5, 10이면 평균은 6이다.
- 3 - 6 = -3
- 5 - 6 = -1
- 10 - 6 = 4
학생은 두 번째 자료의 편차를 1로 적으려 했다. ‘떨어진 거리’만 생각하면 1이라고 말할 수 있지만, 편차는 평균에서 어느 방향으로 떨어졌는지까지 나타낸다. 5는 평균 6보다 작으므로 -1이어야 한다. 이때 절댓값처럼 크기만 쓰지 않고, 자료가 평균의 왼쪽인지 오른쪽인지 표시하도록 풀이 순서를 바꾸었다.
표현이 바뀐 문제에서도 같은 식을 먼저 찾기
학교 프린트에서는 자료가 단순한 숫자 목록으로만 제시되지 않을 수 있다. 표에 학생별 기록이 들어가거나, 그림 속 막대의 높이로 자료가 표시되거나, 평균과 일부 자료가 문장으로 설명되기도 한다. 표현이 달라지면 학생은 새로운 문제라고 느끼지만, 편차를 구하는 첫 행동은 변하지 않는다.
예를 들어 다음 표에서 평균이 12라고 하자.
- 자료 A: 9
- 자료 B: 12
- 자료 C: 15
- 자료 D: 18
학생은 표의 순서를 그대로 읽다가 12를 기준값이 아니라 네 번째 자료처럼 처리했다. 표 옆에 평균 12를 따로 표시하지 않았기 때문이다. 이후에는 문제에서 주어진 평균에 먼저 선을 긋고, 각 자료를 확인한 뒤 ‘각 자료 - 12’를 적게 했다. 결과는 -3, 0, 3, 6이다.
그림으로 자료가 제시된 경우에는 막대의 높이를 먼저 숫자로 옮긴 뒤 편차를 계산해야 한다. 막대가 평균선 아래에 있으면 음수, 평균선 위에 있으면 양수라는 위치 판단을 먼저 하고 실제 뺄셈으로 확인한다. 그림의 모양을 보고 편차의 크기를 추측하는 데서 끝내지 않도록, 반드시 원자료와 평균을 식으로 연결했다.
평균을 다시 계산해야 하는 경우와 주어진 평균을 사용하는 경우
모든 문제에서 평균을 새로 구하는 것은 아니다. 자료와 평균이 함께 주어진 문제라면 주어진 평균을 사용해 편차를 계산하면 된다. 반대로 평균이 제시되지 않았다면 자료의 합을 자료의 개수로 나누어 평균부터 구해야 한다.
자료 6, 7, 11, 16의 편차를 구하는 문제에서 평균이 주어지지 않았다면 평균은 10이다. 따라서 편차는 -4, -3, 1, 6이다. 학생은 16 - 10을 4로 계산한 뒤 나머지도 모두 양수로 적었다. 이 오류를 고칠 때는 계산 결과만 지우지 않고, 평균보다 작은 자료에 화살표를 아래쪽으로 그리게 했다. 그 다음 뺄셈식을 다시 써서 음의 부호가 실제 위치와 맞는지 확인했다.
평균 계산에서 자료 개수를 잘못 세면 뒤의 편차도 모두 달라진다. 그래서 평균을 구하는 문제에서는 자료의 개수에 표시하고, 합계와 나눗셈을 한 줄로 남긴다. 평균이 맞는지 확인한 뒤에야 편차표를 작성한다. 편차를 계산하는 단계와 평균을 구하는 단계를 분리하면 한 숫자의 오류가 어디에서 시작됐는지 찾기 쉽다.
편차의 합이 0인지 검산하는 습관
편차를 모두 구한 뒤에는 합을 확인할 수 있다. 자료 전체의 평균을 기준으로 계산한 편차의 합은 0이 된다.
자료 3, 5, 8, 12의 평균은 7이다. 편차는 각각 -4, -2, 1, 5이고 합은 다음과 같다.
-4 + (-2) + 1 + 5 = 0
학생이 처음 작성한 답은 -4, 2, 1, 5였다. 5에서 7을 뺄 때 음수를 양수로 바꾼 것이 원인이었다. 합을 검산하자 4가 나와 부호 오류를 스스로 찾을 수 있었다. 다만 편차의 합이 0이라는 사실만으로 모든 계산이 반드시 맞는다고 단정할 수는 없다. 서로 다른 오류가 우연히 상쇄될 수 있으므로 각 편차를 ‘자료값 - 평균’에 다시 대입하는 확인도 필요하다.
검산표에는 자료값, 평균, 계산식, 편차를 네 칸으로 나누어 적었다. 예를 들어 자료 3은 ‘3, 7, 3-7, -4’로 기록한다. 숫자만 나열할 때보다 어느 줄에서 부호가 바뀌었는지 명확하게 드러난다.
영통동의 통학 일정 속에서 짧게 점검하는 방식
영통동에는 영덕중학교, 영일중학교, 영통중학교, 청명중학교, 태장중학교가 있으며, 생활권 자료에서는 영통주공9단지와 래미안영통마크원2단지 등이 확인된다. 중학교에서 고등학교로 이동하는 시기에는 통학 시간과 과제, 시험 준비가 함께 늘어날 수 있으므로 긴 학습 시간만 확보하기보다 이동 전후에 한 문제를 정확히 설명하는 점검이 실용적이다. 영통동 내 고등학교와 같은 영통구의 참고 학교는 구분해서 살펴봐야 하며, 학교별 시험 경향을 확인되지 않은 정보로 단정하지 않는다.
수업에서는 이동 전 5분 동안 지난 문제의 편차표에서 부호 하나를 설명하게 하고, 다음 수업에서는 숫자와 표의 순서를 바꾼 문제를 제시한다. 같은 자료를 다시 묻지 않고 평균을 15로 바꾸거나, 자료를 그림과 표로 번갈아 제시한다. 학생이 답을 외워 적는지, 아니면 평균을 기준으로 자료값에서 평균을 빼는지를 확인하기 위해서다.
새 숫자와 새 그림에서 첫 행동을 확인하다
독립 검증 문제로 자료 7, 13, 16, 24와 평균 15를 제시했다. 학생은 먼저 각 자료에서 15를 빼는 표를 만들었다.
- 7 - 15 = -8
- 13 - 15 = -2
- 16 - 15 = 1
- 24 - 15 = 9
이어서 평균보다 작은 두 자료에는 음수, 큰 두 자료에는 양수가 붙는다고 설명했고, 편차의 합이 -8 + (-2) + 1 + 9 = 0인지 확인했다. 이후 숫자 대신 평균선이 표시된 그림으로 바꾸었을 때도 평균선 아래 자료를 먼저 골라 음수로 표시했다. 이전 문제의 -2를 기억해서 쓰는 것이 아니라, 새로운 표현에서 기준값과 방향을 다시 찾아낸 것이다.
편차 학습을 마쳤다고 판단하는 기준은 문제집의 문항 수가 아니다. 평균이 달라지고, 숫자의 순서가 바뀌고, 표나 그림으로 표현되어도 학생이 ‘자료값 - 평균’을 스스로 세운 뒤 부호와 합을 확인하는지가 기준이 된다.