수원하동중3수학과외, 평균만 맞혀서는 끝나지 않는 분산 풀이
“자료 2, 4, 6, 8의 평균은 5이고, 편차의 합은 0이므로 분산도 0이다.” 수원하동의 한 학생이 통계 문제에 적은 답이다. 평균을 구하는 과정은 정확했지만, 분산을 편차의 합으로 판단한 순간 풀이가 달라졌다. 분산은 자료가 평균에서 얼마나 떨어져 있는지를 편차의 제곱으로 나타낸 값이다.
편차가 서로 지워져도 흩어진 정도는 남는다
자료의 평균은 다음과 같다.
(2+4+6+8)÷4=5
각 자료의 편차는 -3, -1, 1, 3이다. 학생은 이 네 수를 그대로 더해 0을 얻은 뒤 자료가 흩어지지 않았다고 해석했다. 그러나 음의 편차와 양의 편차는 평균을 기준으로 서로 반대 방향에 있으므로 합을 계산하면 자연스럽게 상쇄된다. 분산에서는 편차를 제곱한다.
(-3)², (-1)², 1², 3²
따라서 편차 제곱의 평균은
(9+1+1+9)÷4=5
이고, 이 자료의 분산은 5이다. 학생에게 “편차의 합이 0이라는 사실은 무엇을 보여 주는가?”라고 다시 묻자, 평균을 기준으로 양쪽에 균형 있게 놓였다는 뜻이지 자료가 모두 평균과 같다는 뜻은 아니라고 설명할 수 있게 되었다.
계산표를 만들 때 편차와 편차 제곱을 분리한다
이 학생은 처음에 계산을 머릿속으로 처리하면서 편차와 편차 제곱을 한 줄에 섞어 적었다. 그래서 -3과 3을 더해 없애 버렸다. 수정할 때는 자료, 편차, 편차 제곱의 세 칸을 만들고 각 자료를 빠짐없이 대응시켰다.
- 자료: 2, 4, 6, 8
- 평균에서의 편차: -3, -1, 1, 3
- 편차의 제곱: 9, 1, 1, 9
그 뒤 편차 제곱의 합을 자료의 개수 4로 나누었다. 여기서 제곱을 먼저 하는지, 마지막에 평균을 내는지 말로 확인하게 하자 “편차의 합을 나누는 것이 아니라 편차 제곱의 평균을 구한다”고 답했다. 계산 결과만 고치는 것이 아니라 분산의 정의를 풀이 순서와 연결한 것이다.
같은 분산이라도 자료의 위치를 바로 단정하지 않는다
다음 두 자료를 비교하는 과정에서도 표현을 바꾸었다.
A: 3, 5, 7
B: 13, 15, 17
A의 평균은 5, B의 평균은 15이다. 두 자료 모두 평균에서의 편차가 -2, 0, 2이므로 편차 제곱의 평균은 각각
(4+0+4)÷3=8÷3
으로 같다. 학생은 B의 숫자가 더 크므로 분산도 더 크다고 처음 판단했지만, 분산은 자료의 절대적인 크기가 아니라 평균에서 떨어진 정도를 비교한다. 평균이 달라도 편차가 같으면 분산은 같을 수 있다.
이때 “B가 더 큰 자료이므로 분산이 크다”라는 문장을 “두 자료의 평균은 다르지만 평균으로부터의 거리 구조가 같아 분산은 같다”로 바꾸어 말하게 했다. 숫자의 크기와 흩어진 정도를 구분하는 언어가 계산 오류를 줄이는 데 직접 도움이 되었다.
그림이나 표로 바뀌어도 먼저 평균과 편차를 찾는다
학교 프린트에서는 숫자를 나열하지 않고 학생별 기록을 표로 제시할 수 있다. 예를 들어 기록이 6, 8, 10, 12로 표에 들어 있고 평균이 9라면, 편차는 -3, -1, 1, 3이다. 표의 순서가 10, 6, 12, 8로 바뀌어도 평균과 편차 제곱의 목록은 달라지지 않는다.
학생에게 표의 세로줄을 그대로 계산하지 말고, 먼저 자료를 한 줄에 옮긴 뒤 평균을 표시하도록 했다. 이후 각 수에서 평균을 뺀 값을 적고, 음수 기호가 있는 편차는 반드시 괄호를 씌워 제곱하게 했다. 특히 (-3)²을 -9로 쓰지 않도록 “제곱의 대상은 -3 전체”라고 확인했다. 올바른 값은 9이며, 음수 편차의 제곱은 양수가 된다.
수원하동의 일정 차이를 고려한 적용 연습
수원시 영통구 하동 생활권에서 공부 시간을 확보하는 방식은 학생마다 다를 수 있다. 이의중학교 학생이라도 학교와 주거지 사이 이동 시간, 방과 후 일정에 따라 문제를 풀 수 있는 시간이 달라진다. 같은 영통구의 광교중학교, 광교호수중학교, 동수원중학교, 망포중학교는 참고 학교로 볼 수 있지만 하동 소재 학교로 단정하지 않고, 학교별 자료를 그대로 비교하지도 않는다. 따라서 짧은 시간에는 새 문제를 많이 풀기보다 표 하나의 분산을 직접 계산하고, 자신의 풀이에서 편차 합과 편차 제곱을 구분했는지 확인하는 방식이 적절하다.
생활 리듬이 일정한 학생은 학교에서 배운 표를 그날 저녁 계산표로 다시 옮길 수 있고, 이동이나 일정이 긴 학생은 평균과 편차만 먼저 표시한 뒤 다음 학습 시간에 제곱과 나눗셈을 마칠 수 있다. 중요한 것은 풀이를 중단하지 않고도 어느 단계까지 정확히 처리했는지 남기는 것이다.
숫자와 표현이 바뀐 문제에서 원리를 꺼내는지 확인한다
다음 검증 문제에서는 자료를 바꾸었다.
5, 7, 9, 11, 13의 평균은 9이다. 편차는 -4, -2, 0, 2, 4이고 편차 제곱은 16, 4, 0, 4, 16이다. 따라서 분산은
(16+4+0+4+16)÷5=40÷5=8
이다. 학생은 이번에는 편차의 합을 먼저 적지 않고, 평균을 찾은 뒤 편차 제곱 열을 만들었다. 자료가 홀수 개이고 가운데 값이 평균이라는 표현이 추가되었어도, 분산을 구하는 절차는 달라지지 않았다.
마지막으로 자료를 5, 7, 9, 11, 15로 바꾸자 평균부터 다시 9로 계산하지 않고 이전 답 8을 옮겨 적으려 했다. 평균은 47÷5=9.4이므로 기존 분산을 기억해 적용할 수 없다. 학생은 평균을 새로 구하고 각 편차를 다시 계산해 편차 제곱의 평균을 구해야 한다. 숫자 하나가 바뀌었을 때도 첫 행동인 ‘새 평균 구하기’를 스스로 꺼냈다면, 정답을 외운 것이 아니라 분산의 원리를 적용한 것으로 판단할 수 있다.