수원하동중1수학과외, 불필요한 숫자를 빼고 조건을 식으로 바꾸는 연습
“길이가 12cm인 직사각형의 가로는 세로보다 3cm 길고, 넓이는 45㎠이다. 도형을 그리는 데 사용한 연필은 2자루였다.”라는 문제가 있다고 하자. 일부 학생은 문제에 나온 12, 3, 45, 2를 모두 계산에 넣으려 한다. 그러나 연필의 개수는 직사각형의 가로와 세로를 구하는 조건과 관계가 없다. 중1 수학에서 중요한 것은 숫자를 빠르게 계산하는 것이 아니라, 질문에 필요한 조건을 골라 식으로 연결하는 일이다.
수원하동의 중1 학생을 지도할 때도 이 부분은 생활 리듬과 함께 살펴볼 필요가 있다. 이의중학교를 중심으로 학교와 주거지 사이 이동 시간, 방과 후 일정, 집에서 공부를 시작하는 시점이 학생마다 다를 수 있기 때문이다. 같은 영통구의 광교중학교, 광교호수중학교, 동수원중학교, 망포중학교 자료를 참고할 수는 있지만, 이들 학교를 수원하동 소재 학교로 단정할 수는 없다. 학교별 출제경향을 추측하기보다 현재 학생이 문제의 조건을 어떻게 읽고 식으로 옮기는지 확인하는 것이 우선이다.
숫자보다 먼저 표시해야 할 것
한 중1 학생의 학습 장면을 가정해 보면, 문제를 읽자마자 숫자에 동그라미를 치고 계산을 시작한다. “어떤 수의 3배보다 5 큰 수가 20”이라는 문장에서 3, 5, 20을 모두 적은 뒤, 3+5+20처럼 계산하려는 식이다. 이때 먼저 할 일은 숫자 표시가 아니라 수량 관계 표시다.
어떤 수를 x라고 두면 ‘3배’는 3x, ‘5 큰 수’는 3x+5, ‘20’은 결과이므로 3x+5=20이 된다. 문제에 숫자가 몇 개 나왔는지가 아니라 각 숫자가 무엇을 나타내는지 확인해야 한다. ‘보다 큰’, ‘남은’, ‘전체’, ‘같다’와 같은 관계어에 밑줄을 긋고, 각각을 식의 어느 부분으로 옮길지 정한다.
도형이 포함된 문제라면 그림을 눈으로만 보지 않는다. 가로를 x, 세로를 y로 정했다면 그림의 변에 x와 y를 적고, “가로가 세로보다 4cm 길다”는 조건은 x=y+4처럼 기호로 표시한다. 넓이가 48㎠라면 xy=48을 추가한다. 문제에 주변 장식이나 측정 과정의 숫자가 함께 제시되어도 x와 y를 결정하는 관계인지 먼저 판단한다.
이항이라는 말 대신 양변을 움직이는 이유
조건을 골라 식을 세운 뒤에도 풀이가 끊기는 지점이 있다. 학생이 x+7=19에서 “7을 이항하면 부호가 바뀌므로 x=19-7”이라고만 쓰는 경우다. 답은 맞지만 왜 그렇게 되는지 설명하지 못하면 숫자나 괄호가 바뀐 문제에서 다시 멈출 수 있다.
풀이를 다음처럼 두 줄로 작성하게 한다.
x+7=19
x+7-7=19-7
x=12
왼쪽에서 7을 없애기 위해 양변에 7을 뺀 것이다. ‘이항’은 결과를 짧게 표현하는 말일 뿐, 실제 근거는 등식의 양변에 같은 연산을 했다는 데 있다. 예를 들어 3x+5=20에서는 먼저 양변에 5를 빼서 3x=15를 만들고, 다시 양변을 3으로 나누어 x=5를 얻는다.
긴 문장제에서도 같은 순서를 유지한다. 조건을 읽고 필요한 관계만 남긴 뒤, 미지수를 정하고 식을 세운다. 그 다음 양변에 어떤 연산을 했는지 중간식으로 남긴다. 이렇게 하면 문제의 숫자를 모두 계산하려는 습관과 이항 기호만 외우는 습관을 동시에 줄일 수 있다.
틀린 답보다 틀린 위치를 기록하기
이 유형에서 학생이 “모르겠어요”라고만 말하면 질문을 바로 풀이 설명으로 바꾸지 않는다. 문제의 어느 단계에서 멈췄는지 세 칸으로 나누어 표시한다.
- 조건 선별: 사용해야 할 정보와 버릴 정보를 구분했는가
- 식 세우기: 문장의 관계를 미지수와 등식으로 바꾸었는가
- 변형·검산: 양변에 같은 연산을 하고 원래 조건에 대입했는가
예를 들어 x+7=19에서 x=19+7이라고 썼다면 ‘계산 실수’라고 적지 않고 ‘양변에 어떤 연산을 했는지 생략하고 부호만 바꿈’이라고 기록한다. 직사각형 문제에서 연필 2자루까지 식에 넣었다면 ‘불필요한 정보 선별 실패’라고 적는다. 정답만 고쳐 쓰지 않고 오답이 발생한 줄 바로 아래에 원인을 남겨야 다음 풀이를 설명할 때 과정이 끊기지 않는다.
수행평가 피드백을 풀이 기준으로 바꾸기
과정 점수나 서술형 피드백에서 ‘식의 근거가 부족함’, ‘조건을 사용한 과정이 드러나지 않음’이라는 항목이 나왔다면 정답 여부만 확인하는 방식은 바꿔야 한다. 한 문제를 풀 때마다 조건 표시, 미지수 정의, 중간식, 검산의 네 칸을 만든다.
예를 들어 “어떤 수의 4배에서 6을 뺀 값이 18”이면 다음처럼 적는다.
미지수: 어떤 수를 x라 하자.
관계: 4x-6=18
양변에 6을 더함: 4x-6+6=18+6, 따라서 4x=24
양변을 4로 나눔: x=6
검산: 4×6-6=18
답만 맞았더라도 양변에 한 연산과 검산이 빠졌다면 완료로 처리하지 않는다. 특히 풀이 시간이 오래 걸린 맞힌 문제는 맞음으로만 표시하지 않고 ‘재확인’으로 남긴다. 시간이 부족해서 생략한 것인지, 조건을 다시 읽느라 멈춘 것인지 구분할 수 있어야 한다.
새 숫자와 다른 표현으로 독립 적용 확인
같은 문제를 곧바로 다시 풀어 맞히는 것은 충분한 검증이 아니다. 먼저 숫자를 바꾼다. “어떤 수의 3배보다 8 큰 수가 26”에서는 3x+8=26을 세우고 x=6을 구한다. 이후 표현을 바꾸어 “어떤 수에 8을 더한 값의 3배가 26”으로 제시하면 3(x+8)=26이 된다. 괄호 위치가 달라졌으므로 앞 문제의 식을 그대로 옮기면 안 된다.
다음에는 불필요한 정보를 추가한다. “가로가 세로보다 4cm 길고 넓이가 48㎠이며, 도형을 그리는 데 3분이 걸렸다”와 같이 제시한 뒤 3분을 식에 넣지 않는지 확인한다. 도형을 회전하거나 그림의 위치를 바꾸어도 변에 표시한 x, y와 관계식이 유지되는지도 본다.
마지막으로 다음 날에는 문제를 보지 않고 조건 선별부터 다시 하게 한다. 일주일 뒤에는 시간 제한을 두고 학교 프린트와 표현이 다른 문제를 제시한다. 이때 학생이 “이항했어요”가 아니라 “양변에 8을 빼서 미지수 항만 남겼어요”, “이 숫자는 구하는 양과 관계가 없어 제외했어요”라고 설명한다면 조건을 식으로 바꾸는 과정이 독립적으로 자리 잡고 있는지 확인할 수 있다.