매탄동중1수학과외, 같은 항만 묶이는 이유를 서술형 풀이로 확인하기
“3x+2y=5xy”라고 적은 뒤 답지와 숫자만 비교하는 학생이 있다. 계산 속도는 빠른데도 문자식에서 이런 오답이 생기는 이유는 항의 모양을 구분하지 않고 숫자끼리 먼저 처리하기 때문이다. 매탄동중1수학과외에서는 답을 다시 맞히는 데 그치지 않고, 왜 3x와 2y를 합칠 수 없는지 설명하고 변형된 식에서도 같은 판단을 하는 과정을 확인한다.
숫자가 아니라 항의 종류를 먼저 읽기
문자식에서 더하거나 뺄 수 있는 항은 문자와 지수까지 같은 동류항이다. 예를 들어 3x와 5x는 모두 x가 한 번씩 포함되어 있으므로
3x+5x=(3+5)x=8x
로 정리할 수 있다. 반면 3x와 2y는 문자가 다르고, 4x와 4x²는 지수가 다르므로 하나의 항으로 합칠 수 없다. 따라서
3x+2y+4x
에서는 x가 붙은 항끼리만 표시해
3x+4x+2y=7x+2y
로 정리한다. 3x와 4x의 계수 3과 4를 더하는 것은 문자가 같기 때문이지, 식에 숫자가 들어 있기 때문이 아니다.
한 줄 오답에서 드러나는 읽기 습관
한 중1 학생의 학습 장면을 가정해 보면, 교과서 예제 2a+3b-a+5b를 풀면서 앞의 숫자만 모아 2+3-1+5=9라고 계산하고 답을 9라고 쓴다. 또는 2a+3b를 5ab로 바꾼다. 이 학생은 항을 문자 단위로 읽기보다 숫자를 먼저 계산하는 방식에 익숙한 상태다.
문제가 문장제와 연결되면 혼동은 더 커진다. “가로가 x cm인 직사각형의 세로가 3 cm 길어졌다”처럼 주어진 값과 구해야 할 값을 구분하지 않고, 문장에 보이는 숫자를 모두 식에 넣을 수 있다. 식을 세운 뒤에도 중간식을 생략하므로 어느 항을 잘못 묶었는지 찾기 어렵다. 맞힌 문제는 안정된 문제로 분류하지만, 실제로는 숫자와 문자의 위치가 바뀌면 다시 막힌다.
식 옆에 ‘같은 이유’를 남기는 훈련
오답을 고칠 때는 정답만 베끼지 않고 다음 세 단계를 직접 적는다.
- 항마다 밑줄을 긋고 문자와 지수를 확인한다.
- 같은 문자를 가진 항에 같은 표시를 한다.
- 계수만 계산한 뒤, 문자는 그대로 남긴다.
예를 들어 6m-2+3m+7에서는 m이 있는 항에 동그라미, 상수항에 네모를 표시한다.
6m+3m-2+7=9m+5
이때 “6과 3을 더할 수 있는 이유는 둘 다 m을 한 개씩 가진 항이기 때문이고, -2와 7은 문자가 없는 상수항이기 때문”이라고 한 문장으로 설명하게 한다. 4p+2q-3p+q라면 p끼리, q끼리 분류하여
4p-3p+2q+q=p+3q
를 작성한다. 중간식을 남기면 부호를 잘못 옮긴 위치와 동류항이 아닌 항을 합친 위치를 역검토할 수 있다.
서술형은 식·조건·결론으로 되돌아보기
학교 프린트에서 조건이 하나 추가된 문항을 풀 때는 답안을 세 칸으로 나눈다. 첫째 칸에는 문제에서 사용한 조건, 둘째 칸에는 문자식을 정리한 과정, 셋째 칸에는 결론을 적는다.
예를 들어 한 변의 길이가 x cm인 정사각형 네 개의 둘레 합에서 겹치는 부분을 제외하라는 조건이 있다면, 단순히 “8x cm”라고 쓰지 않는다. 정사각형 하나의 둘레가 4x cm라는 조건과 겹치는 길이를 빼야 한다는 조건을 먼저 표시한 뒤 식을 세운다. 그림이나 추가 조건이 주어졌다면 해당 부분에 번호를 붙이고 식에서 사용했는지 확인한다. 식과 답만 있고 조건 설명이 없으면 맞힌 답이라도 풀이 근거가 완성된 것으로 보지 않는다.
식이 맞는지 확인하기 전에, 각 항을 왜 같은 묶음에 넣었는지 설명할 수 있는가?
답지를 가린 뒤 숫자와 문자를 바꾸어 검증하기
답지를 본 문항은 답을 기억한 상태에서 다시 쓰지 않도록 가리고 첫 단계부터 시작한다. 먼저 5x+2y-3x+y를 풀었다면 다음에는 숫자를 바꾼 8x-4y-5x+6y를 제시한다. 정답은 3x+2y이다. 학생이 x항과 y항을 각각 분류해
8x-5x-4y+6y=3x+2y
라고 적는지 확인한다.
그다음 괄호가 포함된 2(3a+b)-a를 주어 분배법칙을 적용한 뒤 동류항을 찾게 한다.
2(3a+b)-a=6a+2b-a=5a+2b
마지막으로 다음 날에는 문장 표현을 바꾼 문제를 제시한다. “어떤 수를 x라 할 때 그 수의 세 배보다 2 큰 수와 x의 합”을 (3x+2)+x=4x+2로 나타내는지 확인한다. 일주일 뒤에는 불필요한 숫자가 포함된 문장제와 서술형 조건을 함께 제시한다. 관찰 기준은 정답뿐 아니라 답지를 찾기 전에 한 번 더 시도하는지, 항 표시와 중간식을 남기는지, 사용한 조건과 결론을 모두 적는지다.
매탄동에는 동수원중학교, 매원중학교, 매탄중학교, 매현중학교, 산남중학교, 수원원일중학교가 확인된다. 매탄권선역과 매탄그린빌4단지 등 생활권 안에서도 학교와 주거지 거리에 따라 교과서 예제를 다시 풀 수 있는 시간이 달라질 수 있으므로, 긴 문제를 한꺼번에 풀기보다 이동이 적은 날에는 서술형 한 문항의 항 표시와 역검토까지 완료하는 식으로 학습량을 조정할 수 있다.