망포동중1수학과외, 표와 그래프가 바뀌어도 정비례·반비례 관계를 읽는 연습
“그래프가 직선이면 정비례예요.”
망포동의 한 중1 학생이 교과서 예제에서는 맞혔던 정비례 문제를 학교 프린트에서 틀린 뒤 이렇게 설명했다고 가정해 보자. 교과서에서는 원점을 지나는 직선 그래프와 간단한 표가 함께 제시되었지만, 프린트에서는 숫자와 표의 순서가 달랐다. 학생은 그래프 모양만 기억하고 표에 나타난 두 양의 관계를 확인하지 않은 채 답을 골랐다.
숫자가 아니라 두 양의 변화를 먼저 읽기
정비례와 반비례는 특정 숫자나 그래프 모양을 외우는 단원이 아니다. 한 양이 변할 때 다른 양이 어떤 방식으로 변하는지 확인해야 한다. 예를 들어 물 1L의 가격이 800원으로 일정하다면 물의 양을 xL, 가격을 y원이라 할 때
y=800x
로 나타낼 수 있다. x가 1, 2, 3으로 변할 때 y가 800, 1600, 2400으로 같은 비율로 변하므로 정비례이다. 반대로 일정한 거리를 일정한 속도로 이동할 때 시간과 속도의 관계처럼 두 양의 곱이 일정하면 반비례를 의심할 수 있다.
학생은 표에 있는 숫자를 모두 식에 넣으려는 행동을 보일 수 있다. 그러나 문제에 제시된 숫자 중에는 단위를 설명하거나 상황을 비교하기 위한 정보도 있다. 숫자부터 계산하지 않고, 먼저 ‘무엇이 변하는가’, ‘무엇이 일정한가’, ‘한 양이 두 배가 될 때 다른 양은 어떻게 되는가’를 말하게 해야 한다.
교과서와 프린트의 표현이 달라졌을 때
교과서에서는 다음과 같은 표가 제시되었다고 하자.
x: 1, 2, 3
y: 4, 8, 12
학생은 y=4x를 세우고 정비례라고 답했다. 그런데 학교 프린트에서는 표의 순서가 바뀌어 다음처럼 제시되었다.
x: 2, 5, 8
y: 10, 25, 40
이때 학생이 첫 번째 표에서 외운 ‘4씩 늘어나는 표’를 찾으면 막힌다. 실제로는 y/x를 계산하면 각각 5이므로 y=5x이다. x가 3씩 증가할 때 y가 15씩 증가한다는 사실도 같은 관계를 보여 준다.
풀이를 시작하기 전 표의 각 열을 세로선으로 묶고, x와 y의 의미를 옆에 적는다. 그다음 y/x가 일정한지 확인한다. 비율이 일정하지 않다면 x×y가 일정한지 살핀다. 단위가 붙어 있다면 단위도 함께 기록해야 한다. 단위가 다른 숫자를 그대로 비교하면 관계를 잘못 판단할 수 있다.
관계를 기호로 표시하는 풀이 순서
- 문장에서 변하는 두 양을 찾아 x와 y로 정한다.
- 표의 각 열에 어떤 값이 대응하는지 화살표로 연결한다.
- 정비례는 y/x, 반비례는 x×y를 계산해 일정한지 확인한다.
- 관계를 식으로 나타낸다.
- 식에 맞는 그래프의 점을 두세 개 찍고 표와 연결한다.
- 문제에서 요구한 결론을 한 문장으로 쓴다.
예를 들어 ‘사과 한 개의 가격이 700원일 때 사과 x개의 가격 y원’을 읽고 학생이 700, x, y를 따로 외우는 데 그친다면, 문장에 ‘한 개당 가격이 일정하다’는 관계를 표시하게 한다. 그러면 y=700x가 되고, x가 0일 때 y도 0이라는 점을 통해 정비례 그래프가 원점을 지난다는 것을 확인할 수 있다.
가정한 학습 장면에서 드러나는 실제 오답
한 중1 학생이 “공책 3권이 2400원이므로 5권은 2400+5=2405원”이라고 썼다고 가정해 보자. 학생은 제시된 숫자를 더했지만, 공책 수와 가격이 같은 비율로 연결된다는 관계를 식으로 만들지 못했다. 먼저 2400÷3=800으로 한 권의 가격을 구하고, y=800x를 세운 뒤 5를 대입해야 한다. 따라서 5권의 가격은 4000원이다.
반비례에서도 비슷한 오류가 생긴다. 60km의 거리를 이동할 때 속도 x와 시간 y의 관계에서 x=20이면 y=3이다. 학생이 속도가 10 증가했으니 시간도 10 증가한다고 쓰면 두 양이 반대 방향으로 변한다는 조건을 놓친 것이다. x×y=60을 표시하면 x=30일 때 y=2라는 값을 구할 수 있다.
다음 날에는 숫자만 바꾸지 않고 관계를 바꿔 확인한다
당일 풀이가 끝난 뒤 같은 문제의 숫자만 바꿔 다시 맞히는 것으로 충분하지 않다. 다음 날에는 표의 행과 열을 바꾸거나, 그래프 대신 문장으로 제시하거나, 단위를 추가한 문제를 사용한다.
예를 들어 전날 y=5x를 학습했다면 다음 날에는 ‘x가 2배가 될 때 y도 2배가 되는가?’를 먼저 묻는다. 이어 표에서 y/x를 계산하고, 그래프의 점을 직접 찍게 한다. 반비례 문제에는 불필요한 이동 시간이나 출발 시각을 넣어 x와 y의 곱을 유지하는 두 양을 골라내게 한다.
마지막으로 학생의 답안에서 식·근거·결론을 각각 확인한다. “정비례이다”라고만 쓰지 않고 “y/x가 일정하므로 y=ax 꼴의 정비례이다”처럼 근거를 남기는지 본다. 일주일 뒤에는 표 없이 문장만 읽고 두 양을 정한 뒤 식과 그래프를 연결하게 한다. 이 과정을 통과해야 교과서 표현이 학교 프린트나 변형 문제로 바뀌어도 관계를 독립적으로 판단할 수 있다.
망포중학교, 영동중학교, 잠원중학교 등 망포동 내 학교와 영통구의 참고 학교는 학교별 프린트와 주간 일정이 다를 수 있다. 따라서 특정 학교의 출제 성향을 단정하기보다, 학생이 실제로 받은 교과서·프린트의 표현을 비교하며 정비례와 반비례 관계를 다시 읽는 방식이 적절하다.