당산동중1수학과외, 맞꼭지각의 위치를 바꿔도 같은 각을 찾는 연습
두 직선이 한 점에서 만났을 때 생기는 네 각을 보고, 학생이 마주 보는 각이 아니라 바로 옆에 붙은 각을 같은 것으로 표시하는 경우가 있다. 예를 들어 직선 AB와 CD가 점 O에서 교차하고, 한 각이 68°라면 맞꼭지각은 그 맞은편 각이므로 68°이다. 반면 옆에 붙은 각은 일직선 위의 각을 이루어 180°-68°=112°가 된다. 그림의 모양만 빠르게 보고 위치 관계를 확인하지 않으면 68°와 112°를 뒤바꾸기 쉽다.
당산서중학교와 당산중학교처럼 중학교 수학에서 도형 조건을 읽고 이유를 적는 문제를 접할 때에는 답을 맞혔는지만 확인하기보다 어떤 두 각이 서로 마주 보는지 설명하는 과정이 필요하다. 당산역 주변이나 당산삼성아파트 생활권에서 통학과 과제가 함께 늘어나는 시기에는 긴 풀이를 처음부터 다시 읽기보다, 오답이 발생한 위치를 짧게 기록하는 방식이 효율적이다. 학교 소재와 통학권 자료는 구분해야 하며, 대림중학교·대영중학교·문래중학교는 같은 영등포구 참고 학교로만 볼 수 있다.
그림의 크기가 아니라 꼭짓점과 변을 먼저 확인하기
맞꼭지각을 어려워하는 학생은 그림에서 더 넓어 보이는 각을 먼저 고르거나, 각의 이름을 왼쪽에서 오른쪽으로 읽다가 기준을 놓친다. 예를 들어 ∠AOC와 ∠BOD가 맞꼭지각인지 판단할 때는 두 각의 꼭짓점이 모두 O인지 확인한 뒤, ∠AOC의 두 변 OA, OC와 반대 방향에 있는 변 OB, OD가 이루는 각인지 살펴야 한다. ∠AOC와 ∠AOD처럼 한 변을 함께 사용하는 각은 맞꼭지각이 아니라 이웃한 각이다.
문제의 그림에 각의 이름만 적혀 있고 크기가 표시되지 않은 경우에도 먼저 두 직선의 교점에 O를 표시한다. 이어서 한 각의 두 변을 선으로 따라가고, 각각의 반대 방향에 놓인 두 변을 찾아 맞은편 각을 연결한다. 이렇게 하면 그림이 회전되거나 기울어져도 위치를 기준으로 판단할 수 있다.
한 중1 학생의 오답 장면을 가정해 보면
한 중1 학생이 다음과 같은 문제를 풀었다고 하자.
두 직선 AB와 CD가 점 O에서 만나고 ∠AOC=73°일 때 ∠AOD와 ∠BOD의 크기를 구하여라.
학생은 ∠AOD를 맞꼭지각이라고 생각하여 73°라고 썼다. 그러나 ∠AOD는 ∠AOC와 변 OA를 함께 사용하는 이웃한 각이다. 두 각은 일직선 AOB를 이루므로 ∠AOD+∠AOC=180°이다. 따라서 ∠AOD=180°-73°=107°이다. ∠BOD는 ∠AOC의 맞꼭지각이므로 73°이다.
이때 “맞꼭지각을 헷갈렸다”라고만 적으면 다음 오답을 예방하기 어렵다. 실제 원인은 ∠AOC와 ∠AOD가 한 변을 공유한다는 점을 확인하지 않고 각의 위치를 판단한 데 있다. 오답표에는 ‘맞은편 확인 생략’, ‘이웃한 각을 맞꼭지각으로 선택’, ‘180° 관계 미사용’처럼 구체적으로 적는다.
풀이를 말로 고정하는 세 단계
첫째, 네 각의 꼭짓점이 같은지 확인한다. 둘째, 선택한 두 각이 변을 공유하는지, 아니면 두 변 모두 반대 방향인지 구분한다. 셋째, 맞꼭지각이면 같은 크기로 놓고, 이웃한 각이면 일직선의 각을 이용해 180°에서 뺀다.
학생은 답 옆에 다음과 같은 짧은 문장을 직접 작성한다.
- ∠AOC와 ∠BOD는 두 직선이 교차할 때 마주 보는 각이므로 맞꼭지각이다.
- ∠AOC와 ∠AOD는 한 변 OA를 공유하고 나머지 두 변이 일직선을 이루므로 합이 180°이다.
- 73°와 107°의 합이 180°인지 계산기로 확인하지 않고 식으로 검산한다.
한 줄에 한 번의 판단만 쓰게 하면, ‘같다’는 결론과 ‘180°에서 뺀다’는 결론이 섞이는 것을 줄일 수 있다. 도형에 색을 칠할 때도 맞꼭지각 두 개만 같은 표시를 하고, 이웃한 각에는 직선 표시를 따로 남긴다.
다음 문제에서 독립적으로 적용되는지 확인하기
같은 문제를 바로 다시 맞히는 것만으로는 충분하지 않다. 먼저 숫자를 73°에서 118°로 바꾼다. 맞꼭지각은 118°, 이웃한 각은 62°가 되어야 하며 두 수의 합은 180°이다. 다음에는 그림을 시계 방향으로 회전하고 각의 이름을 ∠COA, ∠DOB처럼 바꾼다. 이름을 거꾸로 읽더라도 두 각이 같은 두 변을 사용하는지 확인하는지 본다.
그다음에는 한 각의 크기를 주지 않고, ∠AOC=2x+10°, ∠BOD=4x-30°와 같이 맞꼭지각을 문자식으로 제시할 수 있다. 맞꼭지각의 크기가 같으므로 2x+10=4x-30, x=20이고 두 각의 크기는 50°이다. 이 문제에서 학생이 숫자 모양만 비교하지 않고 같은 위치의 각을 먼저 찾는지 확인한다.
마지막으로 다음 날 오답을 다시 펼쳐 그림을 가린 채 “어떤 두 각이 맞꼭지각인가?”, “옆 각을 구할 때 사용하는 관계는 무엇인가?”를 말하게 한다. 일주일 뒤에는 조건을 두 개 추가한 문제에서 각의 전체와 부분을 구분하고, 계산 결과를 이웃한 각의 합 180°로 검산하게 한다. 이 과정을 통과하면 맞꼭지각을 그림의 방향이 아니라 두 직선과 반대 방향의 변으로 판단하는 학습 기준이 형성된 것으로 볼 수 있다.