신월동중1수학과외, 정비례와 반비례를 식보다 변화 방식으로 구분하는 연습
“x가 커지니까 y도 커지므로 정비례이다.” 중1 학생의 답안에서 자주 보이는 문장이다. 하지만 두 양수가 함께 커진다는 사실만으로 정비례라고 판단할 수는 없다. 정비례는 한쪽 값이 몇 배가 될 때 다른 값도 같은 배가 되는 관계이고, 반비례는 한쪽 값이 몇 배가 될 때 다른 값이 그 배수의 역수가 되는 관계다. 신월동중1수학과외에서는 식을 먼저 외우기보다 상황의 변화 방식을 말로 설명한 뒤 식과 표, 그래프로 연결하는 과정을 중심에 둔다.
상황에서 먼저 찾아야 할 변화의 규칙
예를 들어 공책 한 권의 가격이 1200원으로 일정하다면 공책 수를 x권, 전체 금액을 y원으로 둘 때 y=1200x이다. 공책 수가 2배, 3배가 되면 금액도 2배, 3배가 된다. 이때는 두 양의 비율인 y/x가 1200으로 일정하다.
반면 일정한 거리를 이동할 때 속력을 x㎞/시, 걸리는 시간을 y시간으로 나타내면 xy가 일정하다. 속력이 2배가 되면 시간은 절반이 되고, 속력이 3배가 되면 시간은 1/3이 된다. 이 관계가 반비례다.
정비례: x가 2배이면 y도 2배
반비례: x가 2배이면 y는 1/2배
학생이 식을 보자마자 y=ax인지 y=a/x인지 고르게 하기보다, 먼저 “한 양이 커질 때 다른 양은 어떻게 변하는가?”, “같은 배수로 함께 변하는가, 반대로 줄어드는가?”를 문장으로 적게 하면 유형을 상황과 연결할 수 있다.
익숙한 문제만 고르는 습관이 만드는 오류
시험 직전에는 이미 풀어 본 정비례 문제만 골라 계산하고, 표와 그래프가 함께 제시된 문제는 뒤로 미루는 경우가 있다. 다음 날 다시 같은 문제를 푸는 것보다 새로운 표현을 먼저 접해야 하는 이유가 여기에 있다. 숫자만 바꾼 문제가 아니라 단위, 질문 방식, 표의 배열을 바꾼 문제에서 변화 규칙을 설명할 수 있어야 실제 이해를 확인할 수 있다.
한 학생이 “자동차가 일정한 속력으로 달릴 때 시간과 거리는 정비례한다”고 쓴 뒤, 표에서 시간이 2시간일 때 거리가 80㎞이고 4시간일 때 120㎞인 자료도 정비례라고 판단했다고 가정해 보자. 시간이 2배가 되었는데 거리는 1.5배밖에 되지 않으므로 정비례가 아니다. 학생은 익숙한 문장의 기억에 의존했고, 표의 실제 수를 비교하지 않았다.
표와 그래프를 함께 읽는 방법
먼저 표의 두 행 또는 두 열에서 대응하는 값을 한 쌍씩 읽는다. 정비례인지 확인할 때는 y/x를 계산한다. 예를 들어 x가 1, 2, 4이고 y가 3, 6, 12라면 각각의 비가 3으로 같으므로 y=3x이다.
반비례는 곱을 확인한다. x가 1, 2, 4이고 y가 24, 12, 6이면 xy가 모두 24이므로 y=24/x이다. 학생이 x와 y의 순서를 바꾸어 읽는다면 표의 첫 번째 값을 x, 두 번째 값을 y라고 직접 표시하고, 좌표를 (x, y) 순서로 다시 적게 한다.
그래프에서는 정비례 관계가 원점을 지나는 직선으로 나타난다는 점을 확인하되, 직선처럼 보인다는 이유만으로 판단하지 않는다. 실제 표에서 비율이 일정한지 먼저 계산한다. 반비례 그래프는 좌표의 곱이 일정한지 확인하고, 한 점의 위치만 보고 곡선의 성질을 추측하지 않도록 한다.
문제 풀이 중 실제로 바꾸는 행동
- 문장제의 두 양에 각각 x, y를 표시한다.
- 한 양이 2배가 될 때 다른 양이 어떻게 되는지 화살표로 적는다.
- 정비례는 y/x, 반비례는 xy를 표의 두 쌍 이상에서 계산한다.
- 좌표를 찍을 때 가로축 값을 x, 세로축 값을 y로 확인한다.
- 답을 고른 뒤 “비율이 일정한가, 곱이 일정한가”를 한 줄로 검산한다.
피곤한 날에는 고난도 문제를 억지로 많이 풀기보다 표의 대응값 표시, 단위 확인, 변화 방향 설명처럼 구조를 확인하는 작업을 먼저 배치한다. “거리와 시간이 함께 커지므로 정비례”라고 썼다면 실제 배수와 비율을 계산해 문장을 수정한다.
새로운 조건에서 독립 적용하기
첫 번째 확인은 가격과 개수 문제로 했다면, 다음에는 물의 양과 용기의 수, 속력과 시간처럼 상황을 바꾼다. 정비례 문제의 숫자를 1200원과 3권에서 1500원과 4권으로 바꾸는 데 그치지 않고, 표의 순서를 뒤집거나 단위를 원과 천 원으로 바꾼다. 반비례에서는 속력과 시간을 넓이와 가로 길이로 바꾸어 같은 변화 규칙을 찾아보게 한다.
예를 들어 직사각형의 넓이가 48㎠로 일정할 때 가로가 3㎝, 4㎝, 6㎝이면 세로는 16㎝, 12㎝, 8㎝다. 가로와 세로의 곱이 일정하므로 반비례다. 반대로 1분에 5L씩 채우는 물의 양과 시간은 양이 일정한 동안 정비례한다. 표현이 달라져도 비율과 곱을 선택할 수 있는지 확인한다.
신월동에는 강신중학교, 신남중학교, 신원중학교, 신월중학교, 신화중학교, 양강중학교가 지역 내 중학교로 확인된다. 다만 학교별 프린트 구성과 주간 일정은 다를 수 있으므로 특정 학교의 시험 경향을 단정하기보다, 학생이 실제로 받은 표·그래프·서술형 자료를 기준으로 정비례와 반비례의 판단 근거를 점검하는 방식이 적절하다.
복습을 끝내도 되는 기준
다음 날 같은 문제를 맞힌 것만으로 종료하지 않는다. 새로운 숫자, 다른 단위, 표와 그래프의 순서 변경, 문장 표현의 변화가 있는 문제에서 정비례와 반비례를 구분하고 그 이유를 설명해야 한다. 마지막으로 학생이 도움 없이 “비율이 일정하므로 정비례”, “곱이 일정하므로 반비례”라고 근거를 작성할 수 있다면 해당 선수 내용의 복습을 마치고 다음 중1 문제로 넘어간다.