목동중1수학과외, 각을 구한 뒤 원래 문장에 대입해 의미까지 확인하는 연습
“두 각의 크기의 합이 110°이고, 한 각은 다른 각보다 20° 크다.”라는 문제에서 학생은 곧바로 110-20을 계산해 90°라고 적었다. 하지만 이 값은 큰 각인지 작은 각인지 구분되지 않았고, 두 각의 합에도 맞지 않았다. 목동중1수학과외에서 먼저 확인한 것은 계산 속도가 아니라 문제에서 요구한 각이 무엇인지, 구한 값이 원래 조건을 만족하는지 끝까지 읽고 검산하는 습관이었다.
숫자보다 먼저 구할 각을 표시하기
중1 각 단원에서는 그림 속 각의 위치와 문장에 제시된 관계를 함께 읽어야 한다. 예를 들어 작은 각을 x°라고 하면 큰 각은 (x+20)°이다. 두 각의 합이 110°이므로 다음과 같이 식을 세운다.
x+(x+20)=110
2x+20=110, 2x=90, x=45
따라서 작은 각은 45°, 큰 각은 65°이다. 학생이 자주 하는 실수는 110과 20을 먼저 계산해 90을 답으로 쓰는 것이다. 이때 90°는 두 각 중 하나일 수 없고, 90°와 110°-90°를 비교하면 조건의 ‘큰 각과 작은 각의 차가 20°’라는 관계도 맞지 않는다.
문제를 읽을 때는 문장 옆에 ‘구할 것’, ‘주어진 것’, ‘각 사이의 관계’를 나누어 표시한다. 구할 각에는 동그라미, 이미 알려진 각에는 밑줄, 더하기·차이·두 배와 같은 관계에는 화살표를 사용한다. 그림이 함께 제시되면 숫자를 바로 계산하지 않고 먼저 해당 각의 위치에 같은 기호를 옮겨 적는다.
답을 원래 문장으로 되돌리는 검산
한 중1 학생의 학습 장면을 가정해 보면, 학생은 “한 각은 다른 각의 2배이고 두 각의 합은 120°”라는 문항에서 80°를 적었다. 식을 세우지 않고 120-40으로 계산했기 때문이다. 이 문제에서 작은 각을 x°로 두면 큰 각은 2x°이고,
x+2x=120
3x=120, x=40
작은 각 40°, 큰 각 80°가 된다. 검산은 답을 다시 계산하는 절차가 아니라 원래 문장에 답을 넣어 의미를 확인하는 과정이다. 40+80=120인지, 80°가 40°의 2배인지, 문제에서 요구한 각이 작은 각인지 큰 각인지 차례로 확인한다.
서술형 답안에는 ‘작은 각을 x°라 하면 큰 각은 2x°이므로 x+2x=120이다. 따라서 작은 각은 40°이다.’처럼 관계와 결론을 함께 쓴다. 단순히 40이라고만 쓰면 계산 결과는 보여도 어떤 각을 구했는지 드러나지 않는다.
그림이 바뀌어도 같은 관계를 찾는 훈련
도형 자료가 늘어나면 학생은 누가 알려준 순서대로는 풀지만, 새로운 그림에서 첫 행동을 정하지 못할 수 있다. 두 직선이 교차한 그림에서 한 각이 68°로 표시되고 맞꼭지각을 구하라는 문제라면 위치가 달라도 맞꼭지각은 크기가 같다. 반면 이웃한 두 각의 합을 묻는다면 일직선 위의 각이므로 180°에서 68°를 뺀 112°가 된다.
이때 그림의 모양을 외우지 않고 문제의 표현을 기호로 바꾼다. ‘맞꼭지각’에는 같은 표시, ‘일직선 위의 이웃한 각’에는 180°라는 메모를 붙인다. 도형이 회전되거나 숫자의 위치가 바뀌어도 먼저 성질을 선택한 뒤 계산해야 한다. 계산 후에는 68°+112°=180°인지, 맞꼭지각이라면 두 각의 크기가 같은지 확인한다.
시간이 부족한 날의 짧은 검산 루틴
수행평가가 있는 주에 지필 복습을 며칠씩 중단하면 앞에서 배운 각의 관계가 흐려질 수 있다. 그렇다고 새 문제를 많이 추가하기보다 10분 동안 기존 문제의 표시와 검산만 수행한다. 한 문제마다 ① 구할 각에 동그라미 치기 ② 관계를 식으로 쓰기 ③ 답을 원래 문장에 대입하기 ④ 단위를 °로 확인하기를 실행한다.
시간 제한 연습에서는 문제를 끝까지 읽기 전에 숫자부터 계산하지 않도록 첫 20초를 읽기에 사용한다. 문제의 마지막 문장에 ‘구하여라’가 무엇을 가리키는지 밑줄 치고, 그림의 각 표시와 문장의 조건이 연결된 뒤에 계산을 시작한다. 이미 아는 문제를 반복해 시간을 쓰는 학생은 검산 결과에 따라 ‘계산 오류’, ‘구할 대상 오류’, ‘조건 누락’으로 오답 원인을 분류한다.
다음 문제에서 독립적으로 확인하는 방법
훈련 직후 같은 문제를 다시 맞히는 것만으로는 충분하지 않다. 다음 세트에서는 합을 120°에서 134°로 바꾸고, ‘큰 각은 작은 각보다 18° 크다’처럼 문장 구조를 바꾼다.
작은 각을 x°라 하면 큰 각은 x+18°이므로 x+(x+18)=134, 2x=116, x=58이다. 큰 각은 76°이고 58+76=134, 76-58=18이므로 두 조건이 모두 맞는다. 다음 날에는 그림을 회전시키고 요구하는 대상을 큰 각으로 바꾸며, 일주일 뒤에는 불필요한 숫자가 들어간 도형에서 필요한 조건만 골라 풀게 한다.
확인 기준은 정답 개수만이 아니다. 학생이 문제를 읽은 뒤 구할 각을 지정했는지, 관계를 식으로 표현했는지, 답을 원래 문장에 대입했는지, 그림의 모양이 달라도 같은 각의 성질을 선택했는지를 본다. 목동의 목동중학교, 목운중학교, 목일중학교, 봉영여자중학교, 신목중학교, 양동중학교 등 학교별 자료와 별개로, 이 과정은 특정 시험 유형을 외우기보다 각의 의미를 읽고 표현하는 현행 학습에 초점을 둔다.