“√12+√3=√15”라고 적은 뒤 계산을 멈춘 중3 학생이 있었다. 답만 보면 근호 계산을 시도한 흔적은 있지만, 이 식에서는 근호 안의 수를 바로 더할 수 없다. 만송동 중3수학과외에서는 이런 오답을 단순 계산 실수로 처리하지 않고, 학생이 어느 조건에서 근호를 합칠 수 있다고 판단했는지부터 추적한다.
√12와 √3을 먼저 같은 형태로 바꾸는 이유
근호 계산에서 첫 행동은 덧셈이 아니라 근호 안의 수를 분해할 수 있는지 확인하는 것이다. √12에는 완전제곱수 4가 포함되어 있으므로
√12=√(4×3)=2√3
으로 바꿀 수 있다. 따라서 원래 식은
√12+√3=2√3+√3=3√3
이 된다. 학생이 √12+√3을 √15로 적은 까닭은 자연수의 덧셈처럼 근호 안의 수를 합쳤기 때문이다. 그러나 √a+√b=√(a+b)는 일반적으로 성립하지 않는다. 예를 들어 √4+√9=2+3=5이지만 √(4+9)=√13이므로 두 값은 다르다.
학생이 처음 확인해야 할 것은 ‘근호 안의 수’가 아니라 ‘앞의 계수’다
√12와 √3처럼 겉모양이 다르더라도 간단히 만든 뒤 같은 근호가 되면 계산할 수 있다. 반대로 2√5+3√2처럼 근호 안의 수가 다르면 계수만 더해 5√7로 만들 수 없다. 이때는 서로 다른 종류의 항이므로 그대로 2√5+3√2로 둔다.
수업에서는 학생에게 식을 보자마자 계산하지 말고, 각 항을 ‘완전제곱수 분리 가능’, ‘이미 가장 간단한 형태’, ‘근호 안의 수가 서로 같은지’로 표시하게 한다. √18-√8의 경우에도 √18=3√2, √8=2√2로 바꾼 뒤 3√2-2√2=√2가 된다. 처음부터 18-8을 계산하거나 √10으로 묶으면 조건 판별이 빠진 것이다.
맞는 답을 썼어도 근거가 비어 있는 경우
한 학생은 √27+√12를 다음과 같이 풀었다.
√27+√12=3√3+2√3=5√3
결과는 맞았지만, 중간에 왜 √27이 3√3이고 √12가 2√3인지 설명하지 못했다. 숫자를 외워서 적은 것인지, 완전제곱수 분해를 이해한 것인지 확인하려면 새로운 수를 제시해야 한다. 학생에게 √45-√20을 주었을 때 다시 3√5-2√5=√5를 만들고, “45는 9×5, 20은 4×5로 나누었기 때문”이라고 말한다면 계산 절차와 조건을 함께 사용한 것이다.
반대로 √50+√8에서 5√2+2√2라고 적는다면 첫 항의 계수를 잘못 읽은 것이다. √50=√(25×2)=5√2이므로 이 부분은 맞지만, √8=2√2라는 변환을 빠뜨리거나 √50을 25√2로 쓰는 오류가 생길 수 있다. 이때는 근호를 없애는 것이 아니라, 완전제곱수의 제곱근이 계수로 나온다는 한 줄을 식 옆에 적게 한다.
곱셈과 덧셈의 조건을 섞지 않기
근호의 곱셈은 √a×√b=√(ab)로 정리할 수 있다. 따라서 √6×√24=√144=12이다. 하지만 덧셈에서는 √6+√24를 √30으로 만들 수 없다. √24를 2√6으로 바꾸면 3√6이 된다. 학생이 곱셈에서 사용한 규칙을 덧셈에도 그대로 옮기는지 확인하기 위해 두 식을 나란히 제시한다.
√3×√12=√36=6
√3+√12=√3+2√3=3√3
두 식의 기호만 달라졌는데 결과를 같은 방식으로 처리하면 조건 판별이 되지 않은 상태다. 수정 행동은 간단하다. 덧셈·뺄셈에서는 먼저 간단히 만들고 같은 근호인지 확인하며, 곱셈에서는 계수와 근호를 각각 곱한다. 학생이 이 두 문장을 식을 풀기 전에 직접 적도록 하면 기호에 따라 절차가 달라진다는 점이 드러난다.
분모의 근호를 없앨 때도 계산 순서를 점검한다
근호 계산 오류는 분모의 유리화에서도 나타난다. 예를 들어
1/√5
를 1/5로 적는 학생이 있다. 분자와 분모에 √5를 곱해야 하므로
1/√5×√5/√5=√5/5
가 정확한 결과다. 분모에 √5를 곱해 5가 되는 과정을 생략하면 √5를 단순히 지워도 된다고 오해하기 쉽다. 학생은 유리화 직후 원래 분수와 변환한 분수가 같은지 다시 확인한다. √5/5에 √5를 곱하면 5/5=1이므로 원래 분수 1/√5와 같은 값임을 확인할 수 있다.
다만 분모가 2+√3처럼 합으로 되어 있다면 √3만 곱해서는 안 된다. 이 경우에는 켤레식 2-√3을 사용해야 한다. 현재 학습에서 단순한 한 항 분모와 합 형태의 분모를 구별하지 못한다면, 먼저 분모의 모양에 표시를 하게 한 뒤 필요한 방법만 선택한다. 모든 유리화 유형을 한꺼번에 반복시키는 대신, 학생이 조건에 따라 도구를 바꾸는지 확인하는 방식이다.
만송동의 이동 시간을 학습 확인 시간으로 바꾸는 계획
제공된 학교 자료상 만송동 소재 중학교는 확인되지 않았고, 같은 양주시의 참고 학교로 고암중학교·남문중학교·덕계중학교·덕정중학교·덕현중학교가 제시되어 있다. 이 학교들을 만송동 소재 학교로 단정할 수는 없으므로 특정 학교의 시험 경향을 전제로 수업을 구성하지 않는다. 대신 실제 학생의 학교와 학원 또는 귀가 동선을 확인해 방과후 이동 뒤 확보되는 시간을 근호 계산의 짧은 검증 시간으로 배치한다.
예를 들어 수업 당일에는 √48-√12를 풀고, 이동 후 10분 동안 풀이를 사진이나 답만 보지 않고 다시 쓴다. √48=4√3, √12=2√3이므로 답은 2√3이다. 다음 확인에서는 숫자를 바꾼 √75-√27을 제시한다. 학생이 5√3-3√3=2√3을 도움 없이 만들면 같은 답을 기억한 것이 아니라 완전제곱수 분해와 동류근호 판별을 다시 사용한 것으로 볼 수 있다.
마지막으로 √32+√18-√8을 제시한다. 각각 4√2, 3√2, 2√2로 바꾸면 5√2가 된다. 학생이 먼저 세 근호를 모두 √2 형태로 통일한 뒤 계수를 계산하고, 결과를 다시 원식에 대입해 확인한다면 오류가 발생한 위치와 수정된 행동이 연결된다. 만송동 중3수학과외에서 보는 진도 기준도 문제 수가 아니라, 숫자와 식의 형태가 달라졌을 때 ‘분해하기-같은 근호 확인하기-계수 계산하기-검산하기’를 스스로 꺼내는지에 둔다.