덕계동중1수학과외, 전개도에서 문제 수보다 면의 이웃 관계를 확인하는 연습
“정답은 24㎠인데, 왜 이 면이 옆에 붙는지는 모르겠어요.”
중1 입체도형 문제에서 이런 답변이 나오면 단순히 전개도를 더 많이 그리게 하는 것만으로는 부족하다. 전개도는 입체도형의 겉모양을 평면에 펼쳐 놓은 그림이므로, 각 면의 모양과 크기뿐 아니라 어떤 면이 어느 면과 변을 공유하는지까지 설명할 수 있어야 한다. 덕계동중1수학과외에서는 시험범위를 빠르게 끝내기 위해 문제 수만 늘리는 대신, 한 문제의 전개도를 실제 입체의 면 관계로 다시 확인하는 과정을 중심에 둔다.
맞힌 전개도에서 드러나는 빈틈
한 중1 학생의 학습 장면을 가정해 보면, 직육면체의 전개도에서 가로 4㎝, 세로 3㎝인 직사각형 네 개와 4㎝×5㎝인 직사각형 두 개를 그린 뒤 겉넓이를 계산한다. 식은
2×(4×3)+2×(4×5)+2×(3×5)=94
로 정확하다. 그러나 “가운데 면을 접으면 어떤 면과 만나나요?”라고 물으면 그림의 숫자만 다시 읽고 답하지 못한다. 이 경우 계산 결과가 맞았다는 사실이 전개도를 이해했다는 증거가 되지는 않는다. 실제 입체로 접었을 때 서로 맞닿아야 할 면을 확인하지 않았기 때문이다.
반대로 전개도의 면 수를 세는 과정에서 같은 크기의 면을 무조건 나란히 붙이면 된다고 생각하는 학생도 있다. 정육면체의 정사각형 여섯 개를 배치했지만, 접었을 때 서로 겹치는 면이 생기는 배열을 고르고도 “정사각형 여섯 개가 있으니 맞다”고 판단한다. 면의 개수와 넓이만 확인하고 이웃 관계를 검사하지 않은 오답이다.
전개도를 접기 전에 표시할 것
먼저 문제에 나온 입체도형의 면에 번호를 붙인다. 예를 들어 직육면체의 한 면을 ①로 정하고, 그 면의 네 변에 실제로 연결되는 면을 ②, ③, ④, ⑤로 표시한다. ①을 기준으로 접었을 때 네 면은 각각 옆면이 된다. 남은 ⑥은 ①과 마주 보는 면이므로 ①과 직접 변을 공유하지 않는다.
이때 학생은 전개도 그림에 번호만 적지 않고 다음 세 가지를 함께 확인한다.
- 각 면의 모양과 변의 길이가 입체도형의 조건과 일치하는가
- 붙어 있는 두 면이 실제로 한 변을 공유할 수 있는가
- 접었을 때 마주 보는 면이 겹치거나 같은 위치로 들어가지 않는가
직육면체의 경우 4㎝×3㎝ 면에 4㎝×5㎝ 면이 연결될 수는 있지만, 공유하는 변의 길이가 4㎝인지 확인해야 한다. 3㎝ 변과 5㎝ 변을 억지로 연결하면 그림은 이어져 보여도 접을 수 있는 전개도가 아니다. 따라서 면의 크기를 단순히 비교하지 말고, 서로 맞닿는 변의 길이를 작은 표시로 대응시킨다.
문제 수를 줄이고 한 장면을 검증하는 방식
시험범위를 압축해야 할 때는 비슷한 전개도 문제를 여러 개 푸는 대신 한 문제를 세 단계로 나눈다. 첫 단계에서는 전개도에 면 번호와 변의 길이를 표시한다. 두 번째 단계에서는 가위로 자르지 않고 손가락으로 접는 방향을 따라가며, ①과 마주 보는 면을 예상한다. 세 번째 단계에서는 겉넓이 식을 세운 뒤 각 항이 어느 면을 뜻하는지 말한다.
예를 들어 가로 4㎝, 세로 3㎝, 높이 5㎝인 직육면체라면 4×3은 위·아래 면, 4×5는 앞·뒤 면, 3×5는 왼쪽·오른쪽 면의 넓이임을 표시한다. 답이 94㎠로 나오더라도 면의 대응을 설명하지 못하면 해당 문제를 완료한 것으로 기록하지 않는다. 반대로 설명과 계산이 모두 맞으면 같은 유형을 무작정 반복하지 않고 변형 문제로 넘어간다.
작도 순서를 외우는 학생에게 필요한 질문
입체도형 전개도와 함께 작도 과정이 제시될 때는 “선분을 몇 센티미터 그리는가”보다 “왜 이 길이를 기준으로 삼는가”를 확인한다. 학생이 자와 컴퍼스로 선분을 옮길 수는 있지만, 같은 길이를 옮겨야 하는 이유를 설명하지 못한다면 절차를 암기한 상태일 수 있다.
이때 풀이 옆에 작은 체크칸을 만든다.
- 기준이 되는 면이나 선분을 먼저 정했는가
- 컴퍼스로 옮긴 길이가 문제의 어느 변과 같은가
- 새로 만든 면이 기존 면과 어떤 변을 공유하는가
- 완성 후 접었을 때 겹치는 면이 없는가
이 기록은 작도 자체를 별도 단원처럼 넓히기 위한 것이 아니라, 전개도를 눈에 보이는 평면 그림으로만 처리하지 않고 입체의 구조와 연결하기 위한 장치다.
다음 날에는 배열과 조건을 바꿔 확인한다
같은 전개도를 바로 다시 풀어 맞히는 것으로 검증을 끝내지 않는다. 다음 날에는 정육면체 전개도의 정사각형 배열을 바꾸고, 특정 면과 마주 보는 면을 찾게 한다. 또는 직육면체의 길이 조건을 4㎝, 3㎝, 5㎝에서 6㎝, 2㎝, 4㎝로 바꾸어 면의 대응과 겉넓이 식을 새로 작성하게 한다.
이번에는 숫자만 바꾸지 않고 “①과 ④가 마주 보는가?”, “이 전개도를 접으면 어느 면이 위로 오는가?”처럼 질문의 표현도 바꾼다. 학생이 면 번호를 외워 답하지 않고, 붙어 있는 변과 접히는 방향을 근거로 판단하는지 확인할 수 있다. 일주일 뒤에는 전개도를 직접 제시하지 않고 입체의 세 변 길이와 한 면의 위치만 설명한 뒤 가능한 배열을 그리게 한다.
덕계역이나 현대윤중아파트 인근처럼 이동 시간과 귀가 시간이 학생마다 다를 수 있는 생활권에서는 긴 문제 세트를 매일 동일하게 요구하기보다, 실제 공부 가능 시간에 맞춰 한 전개도의 표시·접기 예측·겉넓이 검증을 끝내는 방식이 효율적일 수 있다. 덕계중학교를 중심으로 학습하더라도 학생의 생활 리듬과 현재 풀이 기록에 따라 다음 학습량은 달라져야 한다.
중2 선행을 시작하기 전에는 전개도 문제를 몇 개 풀었는지보다, 새로운 배열과 숫자에서도 면의 이웃 관계를 설명하고 겉넓이 식의 각 항을 근거와 함께 검산하는지가 더 직접적인 점검 기준이 된다.