고읍동중3수학과외, 통계 판단에서 풀이 근거와 검산을 남기는 법
학생이 “평균이 더 크니까 이 자료가 더 좋은 것 같아요”라고 답했지만, 답안지에는 계산식과 비교 기준이 적혀 있지 않았다. 중3 통계 문제에서 이런 답은 숫자를 맞혀도 완성된 풀이로 보기 어렵다. 평균·중앙값·최빈값 중 무엇을 사용했는지, 자료의 어떤 특징을 근거로 판단했는지, 계산 결과가 자료와 맞는지까지 확인해야 하기 때문이다.
평균만 보고 자료의 특징을 단정한 답안
다음 두 자료를 비교하는 장면에서 학생의 첫 풀이가 드러났다.
A자료: 4, 5, 5, 6, 6
B자료: 2, 4, 5, 6, 8
학생은 두 자료의 합을 각각 계산한 뒤 “둘 다 26이므로 평균도 같다”고 적었다. 이 계산은 맞다. 자료의 개수가 각각 5개이므로 두 자료의 평균은 모두 26÷5=5.2이다. 하지만 문제에서 ‘어느 자료가 더 고르게 분포되어 있는가’ 또는 ‘전형적인 값이 무엇인가’를 묻는다면 평균만으로 판단할 수 없다.
학생은 평균을 구한 뒤 바로 결론을 쓰고, 자료가 평균에서 얼마나 떨어져 있는지는 살피지 않았다. A자료는 4부터 6 사이에 모여 있지만 B자료는 2와 8까지 퍼져 있다. 평균이 같다는 사실과 자료의 분포가 같다는 사실은 서로 다르다. 이 차이를 답안에 연결하려면 계산 결과 뒤에 비교 근거를 한 문장으로 붙여야 한다.
계산 결과와 판단 문장을 분리해 쓰기
풀이를 수정할 때 학생에게 평균 계산을 다시 시키는 데서 끝내지 않고, 답안의 순서를 바꾸게 했다. 먼저 자료의 개수와 합을 표시하고, 그다음 평균을 계산한 뒤, 마지막에 문제에서 요구한 판단 기준을 적도록 했다.
A자료의 평균은 (4+5+5+6+6)÷5=5.2이고, B자료의 평균은 (2+4+5+6+8)÷5=5.2이다. 따라서 평균만 비교하면 두 자료의 대표값은 같다. 그러나 A자료는 값들이 5.2 부근에 모여 있고 B자료는 양 끝으로 더 넓게 퍼져 있으므로, 자료가 고른 정도까지 비교할 때는 평균만으로 결론을 낼 수 없다.
이때 ‘A가 더 좋다’처럼 문제에 없는 평가를 붙이지 않는 것도 중요하다. 문제에서 비교 기준이 평균인지, 중앙값인지, 최빈값인지, 또는 자료의 퍼짐인지 먼저 확인해야 한다. 같은 자료라도 질문이 달라지면 근거가 달라진다.
중앙값을 구할 때 생긴 두 번째 오류
학생은 중앙값을 구하는 문제에서 자료를 입력된 순서 그대로 보고 세 번째 수를 골랐다.
7, 3, 9, 4, 5의 중앙값은 9이다.
중앙값은 자료를 크기순으로 배열한 뒤 가운데 값을 찾는다. 3, 4, 5, 7, 9로 정렬하면 중앙값은 5이다. 학생이 해야 할 수정 행동은 ‘중앙값을 외운다’가 아니라, 중앙값을 묻는 순간 자료 옆에 정렬 표시를 먼저 하는 것이다. 정렬 전 숫자에 지우개를 대는 대신 3, 4, 5, 7, 9처럼 새 줄에 옮겨 적게 하면 입력 순서와 크기 순서를 혼동하는 일이 줄어든다.
자료의 개수가 짝수인 경우에는 가운데 두 수의 평균을 구해야 한다. 예를 들어 2, 4, 6, 10, 11, 15의 중앙값은 가운데 두 수 6과 10의 평균인 (6+10)÷2=8이다. 학생은 이때 6이나 10 중 하나를 임의로 고르지 않고, 가운데 두 수에 표시한 뒤 평균식을 작성해야 한다.
답을 쓴 뒤 원자료로 되돌아가는 검산
통계에서 검산은 계산기를 다시 누르는 것만을 뜻하지 않는다. 평균을 구했다면 ‘평균×자료의 개수=자료의 합’이 되는지 확인할 수 있다. 앞의 A자료에서 평균 5.2에 자료 개수 5를 곱하면 26이므로 합과 일치한다. 중앙값은 계산 결과가 원자료의 가운데 위치에 놓이는지 살핀다. 7, 3, 9, 4, 5의 중앙값을 9라고 적었다면 정렬한 자료에서 9가 가운데인지 확인하는 순간 오류를 찾을 수 있다.
최빈값을 판단할 때도 가장 큰 수를 고르는 실수가 있었다. 2, 3, 3, 4, 5, 5, 5, 8에서는 가장 많이 나타나는 값이 5이므로 최빈값은 5이다. 반면 1, 2, 2, 3, 3, 4에서는 2와 3이 같은 횟수로 세 번이 아니라 각각 두 번씩 나타나므로 최빈값은 2와 3이다. 최빈값이 하나라고 미리 정하지 않고, 각 값의 출현 횟수를 표시해야 한다.
고읍동의 이동 시간을 학습 계획에 반영하는 방식
고읍동에서 지역 내 중학교로 확인된 학교는 덕현중학교이며, 고암중학교·남문중학교·덕계중학교·덕정중학교는 같은 양주시의 통학권 참고 학교로 구분해야 한다. 특정 학교의 시험 경향을 단정하기보다 실제 하교와 방과후 이동 뒤 확보되는 시간을 기준으로 통계 문제 풀이를 배치하는 편이 현실적이다.
예를 들어 수업 초반에는 학교 프린트의 자료표 한 문항만 골라 합, 자료 개수, 정렬 여부를 확인하고, 이동 후 자습 시간에는 같은 유형의 새 자료를 독립적으로 풀게 한다. 긴 문제집 진도보다 답안에 평균식이나 중앙값을 고른 근거가 남아 있는지 확인하는 것이 우선이다. 지역 내 확인되지 않은 역·아파트·상권명을 전제로 학습 동선을 꾸미지 않고, 학생의 실제 귀가 시간과 자습 가능 시간만 기록해 조정한다.
숫자가 바뀐 자료에서 판단 근거를 다시 세우기
수정 후에는 앞의 자료를 그대로 다시 풀지 않았다. 다음 자료를 제시했다.
C자료: 3, 5, 5, 7, 10
D자료: 4, 4, 5, 6, 11
학생은 먼저 두 자료의 합을 계산해 C자료는 30, D자료는 30이라고 적었다. 자료의 개수도 각각 5개이므로 평균은 모두 6이다. 이어 자료를 정렬한 상태를 확인해 중앙값도 두 자료 모두 5라고 판단했다. 그러나 최빈값은 C자료가 5, D자료가 4이다. 학생은 “평균과 중앙값은 같지만 최빈값은 다르다”고 근거를 나누어 작성했다.
마지막으로 평균 검산을 위해 6×5=30을 적고, 중앙값은 다섯 개 자료의 세 번째 값인지 확인했다. 이전처럼 정답 숫자만 쓰지 않고, 어떤 대표값을 사용했는지와 그 결과를 확인한 과정까지 남겼을 때 새 조건에서도 풀이가 유지됐다. 중3 통계에서 독립적으로 적용했다는 기준은 문제를 빨리 푸는 데 있지 않고, 자료의 형태가 바뀌어도 판단 기준과 검산 방법을 스스로 꺼내는 데 있다.