고읍동중1수학과외, 전개도를 접었을 때 만나는 면을 설명하는 연습
전개도를 보고도 “이 면이 위에 오나요, 옆에 오나요?”라는 질문에 바로 답하지 못하는 학생이 있다. 그림을 외운 것이 아니라 실제로 접히는 과정을 머릿속에서 움직여 보아야 하기 때문이다. 고읍동중1수학과외에서는 정답을 맞혔는지만 확인하지 않고, 전개도의 한 면을 기준으로 주변 면이 어떻게 접히는지 말하고 표시하는 과정까지 점검한다.
전개도를 평면 그림으로만 보는 순간
예를 들어 정육면체 전개도에서 가운데 면을 기준으로 위·아래·왼쪽·오른쪽에 면이 붙어 있고, 그중 한 면에 숫자 1이 적혀 있다고 하자. 학생은 숫자 1이 적힌 면을 보고 “이 면과 마주 보는 면은 반대쪽에 있는 면”이라고 말하지만, 실제로 어느 면이 마주 보는지 확인하지 못한다. 종이를 접는 대신 그림의 위치만 비교하기 때문에, 전개도의 모양이 회전되거나 면의 위치가 바뀌면 답을 바꾸기도 한다.
또 다른 장면에서는 전개도에 표시된 면의 번호를 순서처럼 읽는다. 1번 다음에 2번이 있으니 접은 뒤에도 서로 붙어 있을 것이라고 판단하는 식이다. 그러나 전개도에서 면이 평면상으로 닿아 있다는 사실과 입체로 접은 뒤 서로 맞닿거나 마주 보는 관계는 다를 수 있다. 이 차이를 구별하는 것이 이번 학습의 핵심이다.
한 면을 고정하고 접는 방향을 표시한다
먼저 학생은 기준 면 하나를 정한다. 기준 면을 종이 가운데에 놓았다고 생각한 뒤, 그 면과 변을 공유하는 면을 각각 “위쪽으로 접힘”, “아래쪽으로 접힘”, “왼쪽으로 접힘”, “오른쪽으로 접힘”이라고 말한다. 이때 단순히 방향 이름만 쓰지 않고 전개도의 변에 작은 화살표를 그린다.
예를 들어 기준 면의 오른쪽 변에 붙은 면은 기준 면을 따라 90도 접힌다. 그 면의 바깥쪽 변에 다시 붙은 면은 한 번 더 접혀 입체의 뒤쪽으로 이동할 수 있다. 학생이 이 과정을 말로 설명하지 못하면, 전개도 전체를 한 번에 보게 하지 않고 기준 면과 인접한 면 두 개만 남긴 뒤 단계적으로 늘린다.
- 기준 면에 동그라미를 친다.
- 기준 면과 변을 공유하는 면을 찾는다.
- 각 변에 접히는 방향 화살표를 표시한다.
- 두 번 접힌 면이 어느 방향에 놓이는지 말한다.
- 마주 보는 면은 공통 변을 공유하지 않는다는 점을 확인한다.
실물 모형을 사용할 수 있다면 같은 크기의 종이를 직접 잘라 접어도 된다. 다만 모형을 보고 답을 외우는 데 그치지 않도록, 모형을 접기 전에 전개도에 예상 위치를 표시하게 한다. 접은 뒤 예상과 실제가 다르면 틀린 면의 위치가 아니라 접는 단계 중 어디에서 방향을 바꾸었는지를 찾는다.
맞힌 문제도 복습 목록에서 바로 졸업시키지 않는 기준
주말 누적복습에서 학생이 전개도 문제의 답만 맞히고 다음 문제로 넘어간다면, 다음 세 가지를 짧게 확인한다. 첫째, 기준 면을 선택했는가. 둘째, 인접한 면과 마주 보는 면을 구분했는가. 셋째, 전개도가 회전되었을 때도 같은 판단을 할 수 있는가.
답을 맞혔지만 기준 면을 정하지 않았거나 “그냥 모양이 그렇게 보여서”라고 말한다면 복습 목록에서 졸업시키지 않는다. 반대로 기준 면을 표시하고 접히는 방향을 설명한 뒤 다른 배열에서도 정확히 판단했다면 해당 유형은 목록에서 제외할 수 있다. 풀이가 끝난 문제를 모두 반복하는 것이 아니라, 판단 근거가 확인된 문제를 구분하는 방식이다.
정답 확인은 결과를 보는 일이고, 전개도 검증은 평면의 한 면이 입체에서 어디로 이동하는지 설명하는 일이다.
처음 보는 배열로 독립 적용하기
연습한 전개도를 바로 다시 풀게 하는 것으로는 충분하지 않다. 다음 문제에서는 같은 정육면체라도 기준 면의 위치를 바꾸고, 면의 번호와 배열을 회전시킨다. 한 문제에서는 두 면이 접은 뒤 마주 보는지 묻고, 다른 문제에서는 특정 면과 변을 공유하는 면을 묻게 한다. 숫자나 기호의 위치도 바꾸어 그림의 외형을 기억해서 풀 수 없게 한다.
예를 들어 연습 때 가운데 면을 기준으로 판단했다면 검증 문제에서는 가장자리 면을 기준으로 삼게 한다. 학생은 기준 면에서 한 번 접힌 면, 두 번 접힌 면을 구분해 표시하고 “이 두 면은 입체에서 같은 변을 공유하지 않으므로 마주 본다”처럼 근거를 문장으로 적는다. 시간 제한을 짧게 두더라도 화살표와 기준 표시를 생략하지 않는지 확인한다.
다음 날에는 전날과 다른 전개도를 제시하고, 일주일 뒤에는 불필요한 번호와 기호가 포함된 문제를 사용한다. 이때 답만 맞히고 설명이 끊기면 아직 독립 적용으로 보지 않는다. 반대로 배열이 바뀌어도 기준 면을 정하고 접힘을 추적한다면 전개도의 모양이 아니라 원리를 사용하고 있는 것이다.
통학 뒤 확보한 짧은 시간의 활용
고읍동에서 학교와 방과후 일정, 귀가 동선 뒤 자습시간이 길지 않은 날에는 전개도 문제를 여러 장 풀기보다 한 문제를 선정해 기준 면, 접힘 방향, 마주 보는 면을 5분 안에 기록하는 방식이 효율적이다. 덕현중학교를 비롯한 양주시 내 학교 자료를 참고하더라도 학교별 출제경향을 단정하기보다는, 학교 프린트에서 다룬 전개도 표현을 새 배열에 적용하는 데 초점을 둔다.
학습 기록에는 문제 수보다 “기준 면 표시 여부”, “접힘 방향 설명 여부”, “회전된 배열에서의 성공 여부”를 남긴다. 피곤한 날에는 새 문제를 추가하기보다 전날 틀린 전개도의 접는 단계를 말로 재현하고, 다음 학습일에 새로운 배열로 확인한다.