“sin 30°를 써야 하나요, cos 30°를 써야 하나요?” 호계동 중3 학생이 삼각비 문제에서 멈춘 지점은 계산이 아니었다. 직각삼각형의 변 길이를 보고 익숙한 공식을 고르는 데 익숙했지만, 기준각을 정하지 않은 채 sin, cos, tan 중 하나를 먼저 적고 있었다. 삼각비 선택은 공식 암기보다 각도와 구하려는 변, 이미 주어진 변의 관계를 판별하는 과정에서 결정된다.
호계동중3수학과외, 삼각비를 먼저 고르는 것이 아니라 기준각부터 정하기
예를 들어 직각삼각형 ABC에서 ∠C=90°, ∠A=30°이고 AB=10이라고 하자. 학생이 그림을 보자마자 “빗변이 10이니까 cos 30°”라고 적었다면, 그 식은 아직 완성된 판단이 아니다. 무엇을 구하는지에 따라 식이 달라지기 때문이다.
∠A를 기준으로 보면 AB는 빗변이다. AC는 기준각에 붙어 있는 변이므로 인접변이고, BC는 기준각의 맞은편에 있으므로 대변이다. 따라서 AC를 구할 때는
cos 30° = AC/10
을 사용하고, BC를 구할 때는
sin 30° = BC/10
을 사용한다. 같은 그림과 같은 30°라도 구하는 변이 달라지면 선택할 삼각비가 바뀐다. 학생이 틀린 이유는 sin과 cos의 값을 몰라서가 아니라, ‘어떤 변을 구하는가’를 식에 반영하지 않았기 때문이다.
대변과 인접변은 그림에 고정된 이름이 아니다
수업 중에는 학생에게 변의 이름을 바로 외우게 하지 않고 기준각에 연필로 표시하게 한다. 먼저 직각 표시를 찾아 빗변을 한 번 지운 뒤, 기준각에서 출발해 맞은편 변에는 ‘대’, 기준각과 맞닿은 나머지 변에는 ‘인’을 적는다. 이때 기준각 자체가 바뀌면 대변과 인접변도 다시 정해야 한다.
같은 직각삼각형에서 이번에는 ∠B=60°를 기준으로 BC를 구한다고 하자. BC는 ∠B에 붙어 있지만 빗변은 아니므로 인접변이다. AB는 ∠B의 맞은편에 있으므로 대변이다. 따라서 AB가 주어졌다면 tan 60°=AB/BC로 연결할 수 있다. 앞에서 ∠A를 기준으로 표시했던 대변과 인접변을 그대로 옮겨 쓰면, 숫자를 바르게 계산해도 잘못된 식이 된다.
기준각 표시 → 빗변 확인 → 구할 변 표시 → 주어진 변과의 관계 비교 → 삼각비 선택
맞힌 식도 근거가 없으면 다시 설명하게 한다
학생이 “tan 45°=1이라서 답은 6입니다”라고 맞혔다고 하자. 실제로 기준각이 45°이고 대변과 인접변이 각각 6인 문제라면 결과는 맞을 수 있다. 하지만 학생이 어느 변을 대변으로 판단했는지 설명하지 못하면, 도형을 회전하거나 기준각을 바꾼 문제에서 같은 답을 반복할 가능성이 크다.
그래서 답안에 계산식만 쓰지 않고 짧은 근거를 붙인다. “∠A를 기준으로 구할 변이 대변이고, 주어진 변이 인접변이므로 tan을 사용한다”처럼 적게 한다. tan 45°=대변/인접변이라는 정의와 문제의 변 위치가 연결되어야 선택이 재현된다.
숫자보다 문장 속 조건을 먼저 표시하기
서술형 문제에서는 ‘높이’, ‘밑변’, ‘경사면’ 같은 말만 보고 삼각비를 고르면 안 된다. 예를 들어 사다리와 벽이 이루는 직각삼각형에서 사다리 길이 5m, 벽과 사다리 사이의 각 60°가 주어지고 벽의 높이를 구한다면 사다리는 빗변, 높이는 대변이다. 그러므로 sin 60°=높이/5가 된다.
반대로 바닥과 사다리가 이루는 각이 60°라고 제시되면 기준각의 위치가 달라진다. 그래도 높이는 대변이고 사다리는 빗변이므로 높이를 구하는 식 자체는 sin 60°=높이/5로 유지된다. 학생이 문장에 나온 각을 표시하지 않고 그림의 아래쪽 각을 임의로 기준으로 삼을 때 혼란이 생긴다. 각의 위치를 그림에 옮긴 뒤 변의 관계를 정해야 한다.
호계동의 학습 일정에 맞춘 짧은 판별 훈련
호계동에는 대안여자중학교, 대안중학교, 범계중학교, 신기중학교, 호계중학교, 호성중학교가 있다. 학교별 시험 범위와 수행평가 일정은 실제 안내문을 확인해야 하므로 특정 학교의 출제 방식이나 난도를 단정하지 않는다. 금정역호계푸르지오아파트와 호계도서관을 오가는 생활 동선, 평일 귀가 시간까지 고려하면 삼각비 한 단원을 긴 계산 문제로만 밀어 넣기보다 귀가 후 20~30분 동안 ‘기준각과 두 변의 관계’를 판별하는 훈련으로 나누는 편이 현실적이다.
평일에는 문제 세 개를 풀더라도 각 문제에서 먼저 기준각, 빗변, 구할 변을 표시하게 한다. 주말에는 학교 프린트에서 숫자를 가리고 변의 관계만 말하게 하거나, 같은 도형의 기준각을 바꾸어 식이 어떻게 달라지는지 확인한다. 수행평가가 있는 주간에는 풀이량을 늘리기보다 그림에 표시한 근거와 식의 대응을 점검한다.
새 도형에서 공식이 아니라 판단을 꺼내는지 확인하기
마지막 확인에서는 앞서 다룬 숫자와 다른 문제를 제시한다. 직각삼각형에서 기준각이 35°이고, 기준각에 붙은 빗변이 12cm, 기준각에 맞은편인 변을 구한다고 하자. 학생이 곧바로 cos를 쓰는지, 아니면 “구할 변은 대변이고 주어진 변은 빗변이므로 sin”이라고 말한 뒤 sin 35°=구할 변/12를 세우는지 본다.
이번에는 같은 조건에서 기준각에 붙은 변의 길이 9cm와 빗변 12cm가 주어지고 대변을 구하게 바꾼다. 학생이 여전히 sin을 선택한다면 이번에는 주어진 변과 구할 변의 관계를 다시 확인해야 한다. 대변과 인접변이 연결되므로 tan 35°=구할 대변/9가 적절하다. 도형의 숫자와 구하는 대상이 바뀌었을 때도 기준각 표시부터 시작한다면, 삼각비 선택을 답의 기억이 아니라 조건 판별로 수행하고 있는 것이다.