호계동중1수학과외, 전개도에서 한 줄씩 변한 요소를 확인하는 서술형 풀이
“이 면이랑 저 면이 붙는 것 같아요.” 전개도 문제를 풀던 중1 학생이 답지의 그림을 보며 자주 하는 말이다. 그림 전체를 한꺼번에 머릿속으로 접으려 하면 맞닿는 면과 마주 보는 면이 뒤섞인다. 특히 학원 숙제와 학교 프린트의 전개도 모양이 달라지면, 같은 입체도형을 다룬 문제도 전혀 다른 유형처럼 느껴진다.
이때 중심이 되는 연습은 계산 한 줄마다 변한 요소를 하나만 확인하는 방식이다. 전개도에서는 면의 번호, 접히는 변, 새로 만나는 면처럼 한 번에 한 가지 관계만 기록해야 한다. 그림을 오래 바라보는 것보다 어떤 정보가 바뀌었는지 서술형 풀이에 남기는 과정이 중요하다.
눈으로 접지 않고 면에 번호를 붙이는 이유
예를 들어 정육면체 전개도에 여섯 면이 그려져 있다고 하자. 학생이 번호를 붙이지 않은 채 “위쪽 면을 접으면 오른쪽에 붙는다”고 판단하면, 실제로는 위쪽 면과 이웃한 면인지 마주 보는 면인지 구분하기 어렵다. 그림을 회전하거나 전개도의 방향을 바꾸면 기존 기억도 쉽게 흔들린다.
먼저 각 면에 1부터 6까지 번호를 붙인다. 그다음 기준 면 하나를 정하고, 기준 면과 변을 공유하는 면만 선으로 연결한다. 한 줄에는 ‘1번 면의 오른쪽 변에 2번 면이 연결됨’처럼 한 관계만 쓴다. 다음 줄에서 다른 면을 확인할 때는 앞의 판단을 반복하지 않고 새롭게 추가된 관계만 기록한다.
- 첫 줄: 기준 면의 번호와 네 변에 붙은 면의 번호 확인
- 둘째 줄: 한 면을 접었을 때 새로 만나는 면 확인
- 셋째 줄: 서로 마주 보는 면인지 이웃한 면인지 구분
- 마지막 줄: 문제에서 요구한 면의 관계를 문장으로 정리
이렇게 하면 그림의 크기나 방향이 달라도 ‘전체 모양이 비슷한가’를 추측하지 않고, 한 단계에서 달라진 요소를 찾아갈 수 있다.
실제 오답은 접는 순서가 아니라 관계를 생략하는 데서 생긴다
한 중1 학생의 학습 장면을 가정해 보면, 전개도에서 3번 면과 5번 면이 마주 보는지를 묻는 문제를 풀면서 3번 면을 중심으로 그림을 접었다. 학생은 3번 면과 5번 면이 그림에서 멀리 떨어져 있다는 이유로 마주 보는 면이라고 답했다. 그러나 전개도에서 떨어진 거리는 입체로 접었을 때의 관계를 직접 알려 주지 않는다.
또 다른 풀이에서는 2번 면과 4번 면이 한 변을 공유하는 것처럼 표시했지만, 실제 그림에서는 2번 면과 4번 면 사이에 3번 면이 있었다. 학생은 숫자를 빠르게 비교하다가 중간 면을 건너뛰었다. 이 경우 필요한 것은 전개도 공식을 다시 외우는 일이 아니라, 면 번호와 공유 변을 직접 표시하는 행동이다.
서술형 답안을 쓸 때도 “5번 면은 반대편이다”에서 멈추면 근거가 부족하다. “3번 면을 기준으로 접으면 5번 면은 기준 면과 변을 공유하지 않고 반대쪽에 놓이므로 마주 보는 면이다”처럼 기준 면과 접히는 관계를 함께 적어야 한다. 답지 없이 시작점을 찾지 못할 때는 문제의 요구를 다시 읽고, 기준 면을 하나 정하는 것부터 시작한다.
한 줄마다 바꾼 요소를 확인하는 훈련
훈련용 작도 흔적은 복잡하게 만들지 않는다. 전개도 그림 하나에 면 번호와 접히는 변만 남긴다. 화살표를 너무 많이 그리면 오히려 어느 관계를 확인했는지 알기 어려우므로, 한 번에 하나의 면만 표시한다.
예를 들어 1번 면을 기준으로 2번 면을 접은 뒤에는 ‘1-2가 이웃함’만 확인한다. 이어서 2번 면을 기준으로 3번 면을 접을 때는 ‘2-3이 이웃함’을 기록한다. 이 두 사실만으로 1번 면과 3번 면의 관계를 성급하게 단정하지 않는다. 실제로 입체에서 어떤 위치가 되는지는 접는 방향과 전개도 배치를 함께 확인해야 하기 때문이다.
학생이 답지를 먼저 본 경우에는 답을 지우는 것으로 끝내지 않는다. 그림을 뒤집어 놓고, 면 번호만 보이는 상태에서 기준 면을 정한 뒤 첫 단계부터 다시 시작한다. 처음부터 풀이가 막히면 ‘기준 면 표시’, ‘공유 변 표시’, ‘접은 뒤 새로 만나는 면 표시’ 세 칸으로 나눈 서술형 체크칸을 사용한다.
- 기준으로 삼은 면에 동그라미를 쳤는가
- 서로 변을 공유하는 면을 선으로 연결했는가
- 마주 보는 면과 이웃한 면을 구별했는가
- 판단 근거를 한 문장으로 적었는가
학교 자료와 귀가 시간을 함께 놓고 적용하기
호계동에는 대안여자중학교, 대안중학교, 범계중학교, 신기중학교, 호계중학교, 호성중학교가 있으며, 생활권 자료에서는 호계도서관과 금정역호계푸르지오아파트 등이 확인된다. 학교별 시험 범위와 수행평가 일정은 실제 안내문을 기준으로 따로 확인해야 하며, 같은 동안구의 참고 학교를 호계동 소재 학교처럼 판단해서는 안 된다.
전개도 서술형을 연습할 때는 평일 귀가 시간 뒤에 긴 문제 세트를 무리하게 배치하기보다, 학교 프린트의 전개도 한 문제를 골라 면 번호 표시와 근거 문장 작성까지 끝내는 식으로 계획할 수 있다. 학원 숙제와 학교 공부가 겹친 날에는 이미 맞힌 문제를 다시 여러 번 풀기보다, 답지를 가리고 첫 단계인 기준 면 설정을 독립적으로 수행했는지 확인한다.
모양을 바꾼 뒤에도 같은 판단이 나오는가
검증은 같은 전개도를 다시 푸는 것으로 끝내지 않는다. 먼저 면 번호는 그대로 두고 전개도의 방향을 회전한다. 다음에는 작도 순서를 섞어 제시하고, 기준 면을 다른 번호로 바꾼다. 이후 한 면의 위치를 바꾸어 전개도 배치를 달리한 문제를 제시한다. 이때 학생이 그림의 외형을 기억해 답하는지, 면의 관계를 다시 추적하는지 구분할 수 있다.
예를 들어 처음에는 1번 면을 기준으로 풀었다면, 변형 문제에서는 4번 면을 기준으로 시작하게 한다. 조건을 하나 추가해 “2번 면과 6번 면은 서로 이웃하지 않는다”라고 제시할 수도 있다. 학생은 답지를 찾기 전에 기준 면에 표시하고, 한 줄마다 새로 확인한 관계를 적어야 한다.
당일 정답보다 중요한 검증 장면은 첫 단계에서 멈추지 않는지 여부다. 다음 날 전개도 방향을 바꾼 문제를 다시 풀고, 일주일 뒤에는 면 번호 없이 직접 번호를 붙여 보게 한다. 새로운 배치에서도 기준 면, 공유 변, 마주 보는 면을 차례로 확인한다면 전개도를 눈으로만 기억하던 상태에서 벗어나 서술형 풀이로 관계를 설명하는 단계로 넘어간 것이다.