안산중3수학과외, 두 단계 삼각비에서 기준각을 다시 세우는 연습
학생이 학교 프린트의 높이 구하기 문제에서 처음 적은 식은 tan 30° = 12/x였다. 그런데 그림을 확인해 보니 30°는 지면과 줄이 이루는 각이 아니라, 줄과 수직 기둥 사이의 각이었다. 학생은 숫자 30°를 보자마자 탄젠트를 썼고, 대변과 인접변을 다시 정하지 않았다. 답이 틀린 까닭은 삼각비 공식을 몰라서라기보다 기준각과 변의 역할을 연결하지 않은 데 있었다.
두 단계 삼각비 문제에서는 한 번 계산한 길이를 다음 직각삼각형의 변으로 사용한다. 따라서 첫 단계에서 기준각을 잘못 읽으면 뒤의 계산까지 연속해서 달라진다. 안산의 경수중학교, 관산중학교, 광덕중학교, 단원중학교, 대부중학교, 반월중학교 등 대표 중학교에서 사용하는 자료를 살필 때도 학교별 문항 표현과 그림 배치는 다를 수 있으므로, 특정 학교의 시험 경향을 단정하기보다 학생이 어떤 표시를 먼저 읽는지 확인하는 과정이 필요하다. 부곡동·고잔동·선부동·와동·초지동·원곡동처럼 생활권이 나뉘고 통학 이동이 달라질 수 있는 환경에서는 수업 시간에 푼 문제와 과제 문제의 표현이 달라져도 풀이 첫 단계를 유지하는 연습이 중요하다.
30°를 보자마자 탄젠트를 고른 풀이
다음과 같은 상황을 생각해 보자. 지면의 점 A에서 기둥의 꼭대기 C를 바라본 각이 30°이고, A와 기둥의 밑부분 B 사이의 거리가 12m라면 직각삼각형 ABC에서 기준각은 A이다. AB는 인접변, BC는 대변이므로
tan 30° = BC/AB = BC/12
가 된다. 따라서 BC = 12tan 30° = 12/√3 = 4√3m이다. 학생이 12tan 60°라고 적었다면 60°라는 숫자를 사용한 것이 아니라, 기준각을 A가 아닌 다른 각으로 바꿔 읽은 셈이다. 같은 그림 안에서도 어느 각을 기준으로 삼는지에 따라 대변과 인접변의 이름이 바뀐다.
수업에서는 학생에게 공식을 먼저 말하게 하지 않고 그림 위에 기준각을 동그라미로 표시하게 한다. 그다음 빗변, 기준각과 맞닿은 변, 기준각의 맞은편 변을 각각 표시한다. 이 문제에서는 A를 기준으로 잡았을 때 AB가 인접변이고 BC가 대변이라는 사실을 말로 설명한 뒤에야 tan을 선택하게 한다. 식을 쓴 후에는 “구하려는 BC가 분자에 있는가?”를 확인한다. 이 한 줄의 확인으로 12를 곱해야 하는지 나누어야 하는지도 함께 판단할 수 있다.
한 번 구한 길이를 다음 삼각형에서 다시 읽기
두 단계 문제는 여기서 끝나지 않는다. 기둥의 꼭대기 C에서 다른 지점 D까지 케이블이 연결되어 있고, 케이블 CD가 지면과 이루는 각이 45°라고 하자. 이미 BC = 4√3m를 구했다면 이번 직각삼각형에서 알고 있는 길이는 높이 BC이고, 구할 길이는 지면 방향의 CD 또는 수평 거리일 수 있다. 학생이 문제의 숫자만 따라가며 다시 “tan 45° = 4√3/x”라고 쓰면, CD가 어떤 변인지 확인하지 않은 상태에서 식을 만든 것이다.
예를 들어 C에서 수직으로 내려온 점을 E라 하고 CE = 4√3m, 지면의 점 D까지의 수평거리 ED를 구한다면 기준각이 D일 때
tan 45° = CE/ED = 4√3/ED
이므로 ED = 4√3m이다. 반대로 D에서 C까지의 케이블 길이 CD를 묻는다면 tan만으로 바로 CD를 구하지 않고, 45°-45°-90° 삼각형의 두 직각변이 같다는 관계를 먼저 사용한 뒤 피타고라스 관계로 CD = √((4√3)²+(4√3)²) = 4√6m을 얻는다. 같은 45°가 주어져도 구하는 대상이 수평거리인지 빗변인지에 따라 풀이가 달라진다.
학생이 자주 하는 행동은 첫 단계의 답 4√3을 두 번째 식에 그대로 복사하고, 새 그림에서 기준각을 표시하지 않는 것이다. 이를 고칠 때는 각 단계마다 작은 삼각형을 따로 이름 붙인다. 첫 삼각형에서는 A를 기준으로 BC를 구하고, 두 번째 삼각형에서는 D를 기준으로 CE와 ED의 위치를 다시 표시한다. 이전 답을 새로운 변으로 옮겨 적되, 그 길이가 두 번째 삼각형에서 대변인지 인접변인지 확인한 뒤 비율을 세운다.
√3이 분모에 있을 때도 도형 판단이 먼저다
tan 30° = 1/√3을 계산할 때 학생이 12/√3을 곧바로 4√3으로 바꾸는 과정은 맞지만, 분모의 유리화 과정을 생략하면 서술형에서 근거가 약해질 수 있다.
12/√3 × √3/√3 = 12√3/3 = 4√3
처럼 적게 한다. 다만 계산을 정확히 하는 것보다 앞서 “12는 기준각에 붙은 인접변인가, 대변인가”를 확인해야 한다. 변의 위치를 잘못 정한 채 근호 계산만 깔끔하게 해도 정답은 바뀌지 않는다.
그림을 회전해도 먼저 기준각을 찾는가
다음 시간에는 같은 원리를 유지하되 그림을 회전하고 조건의 순서를 바꾼 문제를 제시한다. “높이 8m인 건물 꼭대기에서 지면의 한 점을 내려다본 각이 35°이고, 건물에서 그 점까지의 수평거리를 구하라”는 문장에서 학생은 35°가 건물 꼭대기에 있는 각임을 먼저 표시해야 한다. 이때 높이 8m는 기준각의 대변이고 수평거리는 인접변이므로
tan 35° = 8/x
에서 x = 8/tan 35°이다. 앞서처럼 높이를 탄젠트에 곱하는 상황이 아니라 나누는 상황이다. 각의 위치가 바뀌고 구하는 대상이 달라졌지만, 기준각 표시와 대변·인접변 확인이라는 첫 행동은 같다.
또 다른 변형에서는 학생이 25°를 기준각으로 삼아야 하는데 그림에 65°만 표시한다. 두 각이 직각삼각형의 예각이라면 25°와 65°는 서로 보각이므로, 구하려는 길이에 맞는 각을 선택할 수 있다. 다만 65°를 사용한다면 대변과 인접변의 위치도 그 기준에 맞게 다시 정해야 한다. “각도가 25°인지 65°인지”보다 “내가 어느 꼭짓점에서 바라보고 있는지”를 설명하게 하는 것이 목표다.
안산의 이동 조건을 학습 일정에 반영하는 방식
고잔주공7단지나 선부주공9단지처럼 생활권 자료에서 확인되는 주거지와 학교 사이의 이동 시간은 학생마다 다르며, 이를 모든 안산 중학생의 동일한 통학권으로 볼 수는 없다. 다만 중학교에서 고등학교로 넘어가며 이동·과제·시험 부담이 함께 늘어날 수 있으므로, 수업에서는 긴 풀이를 한 번에 끝내기보다 첫 단계의 기준각 표시, 두 번째 삼각형의 변 재확인, 마지막 계산 검산을 짧게 나누어 기록하게 한다. 고등학교가 안산시에 24개이고 그중 일반고가 16개라는 학교통계도 학교 선택과 통학 조건이 다양할 수 있음을 보여주는 자료일 뿐, 특정 학교의 난도나 학생 수준을 뜻하지는 않는다.
새 그림에서 도움 없이 다시 꺼내는지 확인하기
마지막 확인 문제에서는 숫자를 12와 30°에서 9와 40°로 바꾸고, 처음 그림과 반대 방향으로 삼각형을 배치한다. 학생에게 공식을 알려주지 않고 문제를 읽게 했을 때 먼저 기준각에 표시하는지, 구하려는 변을 대변과 인접변 중 어느 쪽으로 설명하는지 관찰한다. 예를 들어 기준각이 40°이고 높이 9m가 대변, 수평거리가 x라면
tan 40° = 9/x
에서 x = 9/tan 40°라고 세워야 한다. 계산기 값을 구한 뒤에는 tan 40°가 1보다 작으므로 x가 9보다 커야 한다는 크기 검산도 덧붙인다. 이전 문제의 4√3을 기억해서 답하는 것이 아니라, 새로운 숫자·각도·그림에서도 기준각 표시부터 식의 방향과 결과의 크기까지 스스로 연결하는지가 두 단계 삼각비 학습의 확인 기준이다.