부곡동중3수학과외, 현과 중심의 관계를 조건으로 판별하는 연습
부곡동중3수학과외에서 다루는 현과 중심의 관계
학생이 원 안에 그어진 선분을 보고 “중심을 지나니까 지름이에요”라고 말했지만, 실제 그림에서는 그 선분이 중심에서 조금 비켜나 있던 장면이 있었다. 선분의 양 끝점이 원 위에 있다는 사실만으로는 지름이라고 할 수 없다. 현인지, 지름인지, 중심에서 현에 내린 선분인지 구분하려면 그림의 위치와 조건을 함께 확인해야 한다.
부곡동의 안산부곡중학교 학습을 준비할 때도 현과 중심의 관계를 단순히 성질 암기 문제로 다루기보다, 학교 프린트와 시험에서 제시되는 도형의 표시를 읽고 필요한 조건을 골라내는 방식으로 연습할 필요가 있다. 같은 상록구의 경수중학교, 광덕중학교, 반월중학교, 본오중학교는 참고 학교로만 구분하며, 실제 학습 일정은 안산부곡중학교의 시험 범위와 수행평가 일정, 학생의 평일 귀가 시간에 맞춰 조정한다.
선분이 현이라는 사실과 지름이라는 조건은 다르다
원 위의 두 점 A, B를 연결한 선분 AB는 현이다. 이때 AB가 반드시 중심 O를 지나야 하는 것은 아니다. AB가 O를 지나면 그 현은 지름이 되고, 지름은 원의 중심을 지나는 특별한 현이다.
학생은 다음과 같은 그림에서 자주 성급하게 결론을 낸다.
“A와 B가 원 위에 있으므로 AB는 지름이다.”
수정할 때는 선분의 양 끝점만 보지 않고 중심 O가 선분 AB 위에 있는지 먼저 확인하게 한다. 중심이 선분 위에 표시되어 있지 않다면 “현 AB”까지만 말할 수 있다. 반대로 A, O, B가 한 직선 위에 있고 O가 AB의 내부에 있다면 AB는 지름이다. 이 판단은 선분의 길이를 계산하기 전에 해야 할 첫 행동이다.
중심에서 현으로 내린 수선이 만드는 관계
현 AB의 중점을 M이라 하고, 중심 O에서 M으로 선분을 이었다고 하자. OM이 AB에 수직이라는 조건이 주어지면 OM은 현 AB를 수직이등분한다. 따라서 AM=MB이다.
학생의 첫 풀이에서는 그림에 직각 표시가 없는데도 “중심에서 현까지 연결했으니 양쪽 길이가 같다”고 적었다. 중심과 현의 관계만으로 항상 수직이 되는 것은 아니다. 이 성질을 사용할 수 있는 경우는 OM이 AB에 수직이라는 조건이 있거나, OM이 현의 중점을 지나도록 주어진 경우처럼 필요한 조건이 확보될 때다.
예를 들어 OA와 OB가 모두 반지름이고 OM⊥AB라면 직각삼각형 OMA와 OMB에서
OA=OB, OM은 공통이고, 두 삼각형은 직각삼각형의 빗변과 한 변이 각각 같으므로 합동이다. 따라서 AM=MB가 된다. 학생에게는 ‘반지름이 같다’만 적게 하지 않고, 어떤 두 삼각형을 비교했는지와 왜 합동인지까지 표시하게 한다.
길이 숫자보다 먼저 확인할 표시
다음 문제에서 현 AB의 길이가 10cm이고, 중심 O에서 현 AB에 내린 수선의 발을 M이라고 하자. OM⊥AB라면 M은 AB의 중점이므로
AM=MB=5cm
라고 정리할 수 있다. 여기서 10을 그대로 AM에 적는 오답은 ‘수선의 발이 중점이 된다’는 조건을 빠뜨린 결과다. 반대로 AB가 지름이라는 조건만 있는 경우에는 중심 O가 AB의 중점이므로 OA=OB이지만, 별도의 현과 수선 관계를 묻는다면 문제에 제시된 직각 표시를 다시 확인해야 한다.
풀이 순서를 다음처럼 고정하지 않고, 도형의 조건에 따라 선택하게 한다.
- 먼저 원의 중심과 원 위의 점을 표시한다.
- 문제에 나온 현을 찾고, 중심이 그 선분 위에 있는지 확인한다.
- 중심에서 현으로 이어진 선분에 직각 표시가 있는지 살핀다.
- 수선 조건이 있으면 현의 양쪽 조각을 같다고 두고, 없으면 임의로 같게 두지 않는다.
- 사용한 성질을 식 옆에 짧게 적는다.
맞힌 답에도 근거를 붙이는 이유
학생이 AB=12, OM=5인 도형에서 AM=6을 맞혔더라도, “그냥 반으로 나눴다”고 설명한다면 새로운 문제에서 다시 흔들릴 수 있다. 답을 맞혔는지보다 AB를 반으로 나누어도 되는 조건을 말할 수 있는지가 중요하다.
학생은 답안에 다음과 같이 쓰도록 수정했다.
OM⊥AB이고 OA=OB이므로 OM은 현 AB를 수직이등분한다. 따라서 AM=MB=6이다.
이 문장을 쓴 뒤에는 양변을 더해 AM+MB=12가 되는지 확인한다. 숫자를 계산한 뒤 원래 현의 길이로 돌아가는 역검산을 넣으면, 중간에 6을 잘못 8로 적었을 때도 즉시 오류를 발견할 수 있다.
그림의 배치가 바뀌어도 같은 조건을 찾는 과정
새 문제에서는 현을 가로로 두지 않고 비스듬히 배치한다. 중심 O에서 현 CD로 내린 수선의 발을 N이라 하고, CD=14, ON=9로 제시한다. 그림이 회전했더라도 CN=ND=7이라는 판단은 달라지지 않는다. 학생이 해야 할 일은 도형의 방향을 기준으로 기억하는 것이 아니라, “중심에서 현에 내린 수선”이라는 관계를 읽어내는 것이다.
이후 반지름을 구하는 문제라면 직각삼각형 ONC에서
OC²=ON²+NC²=9²+7²=130
이므로 OC=√130이다. 여기서 OC를 16으로 계산하거나, 9+7로 처리하는 오답은 직각삼각형의 변 관계를 현의 길이 계산과 섞은 경우다. 먼저 현의 절반 NC를 구하고, 중심에서 현까지의 거리 ON과 함께 피타고라스 관계를 적용해야 한다.
다만 모든 현 문제에 피타고라스를 적용하는 것은 아니다. 반지름과 현의 절반, 중심에서 현까지의 거리가 직각삼각형으로 연결되어 있을 때만 사용할 수 있다. 직각 표시가 없는 그림을 보고 자동으로 식을 세우지 않도록 조건을 읽는 연습을 함께 진행한다.
평일 일정 안에서 조건 판별을 짧게 반복하기
부곡리우리마을아파트 등 생활권에서 학교와 귀가 장소를 오가는 학생은 평일마다 긴 풀이 시간을 확보하기 어려울 수 있다. 그래서 한 번에 여러 단원을 섞기보다, 귀가 후 현과 중심이 표시된 문항 두세 개를 골라 첫 판단만 말하게 하는 방식이 적합하다. 안산부곡중학교의 시험 범위와 수행평가 일정을 확인한 뒤, 시험 직전에는 새로운 공식을 늘리기보다 현·지름·수선 조건을 구분하는 짧은 문항을 배치한다.
예를 들어 월요일에는 “AB가 현인가, 지름인가”를 표시하고, 수요일에는 수선의 발이 현의 중점이 되는 이유를 문장으로 쓰게 한다. 금요일에는 같은 원을 회전한 그림에서 현의 절반을 찾아 반지름을 계산하게 한다. 각각은 같은 중심 주제를 유지하지만, 숫자와 도형의 방향을 바꾸어 답을 외워 따라 쓰는 것을 막는다.
도움 없이 확인하는 변형 문제
마지막에는 중심 O를 지나지 않는 현 EF의 길이를 16cm로 주고, 중심에서 EF에 내린 수선의 발을 K라고 한다. 단, OK⊥EF라는 조건만 제시하고 반지름의 길이는 주지 않는다. 이때 학생이 바로 EK=KF=8이라고 판단하는 것은 가능하지만, 반지름을 구하려면 추가로 OE 또는 OK의 길이가 필요하다는 점도 말할 수 있어야 한다.
조건이 부족한데도 임의의 숫자를 넣어 반지름을 구하지 않고, 가능한 결론과 불가능한 결론을 나누어 설명하면 학습이 제대로 전환된 것이다. 현 EF가 지름인지 묻는 질문에는 중심 O가 EF 위에 있다는 조건이 없으므로 지름이라고 단정하지 않는다.
현의 길이를 반으로 나누는 것, 지름 여부를 판단하는 것, 반지름을 계산하는 것은 서로 연결되어 있지만 필요한 조건은 다르다. 부곡동 중3수학과외에서는 학생이 도형을 보자마자 식부터 쓰지 않고, 중심의 위치와 직각 표시, 수선의 발, 주어진 길이를 차례로 확인한 뒤 근거 있는 식을 세우는지를 기준으로 다음 학습 단계로 넘어간다.