시흥중3수학과외, 산포도 비교를 변형 문제에서도 설명하는 연습
“평균이 같으니까 두 자료의 흩어진 정도도 같다.” 시흥의 한 중3 학생이 산포도 비교 문제에서 적은 문장이다. 두 자료의 평균이 실제로 같더라도 자료가 평균 주변에 모여 있는 정도는 다를 수 있다. 산포도 문제는 평균을 다시 계산하는 데서 끝나는 것이 아니라, 각 자료가 중심값에서 얼마나 떨어져 있는지를 비교해야 한다.
평균이 같은 두 자료에서 비교 대상 바꾸기
다음 두 자료를 보자.
A: 4, 5, 5, 6, 10
B: 2, 5, 6, 7, 10
두 자료의 평균은 모두 6이다. 학생은 “평균이 같으므로 산포도도 같다”고 판단했지만, 평균에서 떨어진 정도를 살펴보면 차이가 드러난다. A의 편차는 -2, -1, -1, 0, 4이고 B의 편차는 -4, -1, 0, 1, 4이다. B는 평균에서 멀리 떨어진 값이 더 포함되어 있어 자료가 넓게 퍼져 있다.
이때 단순히 가장 큰 값과 가장 작은 값의 차이인 범위만 비교하면 A의 범위는 6, B의 범위는 8이다. 따라서 이 두 자료에서는 B의 범위가 더 크고, 흩어진 정도도 더 크다고 판단할 수 있다. 하지만 문제에서 분산이나 표준편차를 요구한다면 범위만으로 답을 대신할 수 없다. 어떤 산포도를 사용하라고 했는지 먼저 확인해야 한다.
학생이 멈춘 지점은 계산보다 ‘무엇을 비교하는가’였다
학생은 분산을 구할 때 평균에서의 차이를 그대로 더했다. A의 편차를 -2-1-1+0+4로 계산해 0이 나오자 “분산이 0”이라고 썼다. 편차의 합이 0이 되는 것은 평균의 성질일 뿐, 자료가 모두 같은 값이라는 뜻은 아니다.
분산은 편차를 제곱한 값의 평균이다. A의 편차 제곱은 4, 1, 1, 0, 16이므로 분산은
(4+1+1+0+16)÷5=22÷5
이다. B의 편차 제곱은 16, 1, 0, 1, 16이므로 분산은
(16+1+0+1+16)÷5=34÷5
가 된다. 따라서 B의 분산이 더 크고, 두 자료의 표준편차를 비교해도 B가 더 크다. 표준편차는 분산의 양의 제곱근이므로 분산의 대소가 정해지면 표준편차의 대소도 같은 방향으로 정해진다.
산포도 공식보다 먼저 적는 세 줄
이 학생에게는 공식을 여러 번 외우게 하기보다 문제를 읽은 뒤 다음 세 줄을 먼저 적도록 했다.
- 비교할 산포도: 범위인지, 분산인지, 표준편차인지
- 각 자료의 평균: 같거나 다른지 확인
- 비교 근거: 최댓값·최솟값, 편차 제곱의 평균, 또는 표준편차
평균이 다른 자료를 비교할 때도 같은 절차가 필요하다. 예를 들어 C의 자료가 1, 2, 3, 4, 5이고 D의 자료가 10, 11, 12, 13, 14라면 두 자료의 위치는 다르지만 각각의 평균에서 떨어진 정도는 같다. 두 자료 모두 평균으로부터의 편차가 -2, -1, 0, 1, 2이므로 분산과 표준편차도 같다. 학생은 처음에 D의 수가 더 크다는 이유로 D의 산포도가 크다고 했지만, 산포도는 자료의 절대적인 크기가 아니라 중심에서 퍼진 정도를 나타낸다는 점을 다시 확인했다.
표현이 달라져도 같은 산포도인지 판별하기
다음 문제에서는 자료의 일부만 제시된다.
“다섯 개의 자료의 평균이 8이고, 평균에서의 편차가 -3, -1, 0, 1, 3일 때 분산을 구하여라.”
학생은 원자료를 복원하려고 했지만, 분산을 구하는 데 원자료 전체가 필요하지는 않다. 편차를 제곱해 더하면 9+1+0+1+9=20이고, 자료의 개수가 5개이므로 분산은 20÷5=4이다. 평균 8을 이용해 원자료를 5, 7, 8, 9, 11로 복원해도 같은 결과가 나온다. 이 장면에서 확인한 것은 숫자를 무조건 원자료로 바꾸는 것이 아니라, 문제에 직접 주어진 정보가 무엇을 구하는 데 충분한지 판단하는 행동이다.
반대로 자료의 개수가 바뀌면 계산 결과도 달라진다. 편차가 -3, -1, 0, 1, 3인 자료에 같은 편차를 가진 값이 한 개 더 추가되었다면 분산의 분모는 5가 아니라 6이 된다. 학생이 분산 공식을 기억한 뒤에도 반드시 “편차 제곱의 합을 몇 개로 나누는가”를 자료의 개수와 연결하도록 한 이유다.
시흥의 학교 일정에 맞춘 짧은 검증 단위
시흥에는 군자중학교, 논곡중학교, 대흥중학교, 배곧라라중학교, 배곧중학교, 배곧해솔중학교 등이 대표 학교로 확인되지만, 이 학교들을 배곧동·능곡동·월곶동·조남동·장곡동·장현동 전체의 동일한 통학권이나 같은 내신 운영으로 묶어 설명할 수는 없다. 배곧상업지구, 월곶동풍림아파트, 장현4단지 등 생활권에 따라 학생의 이동 시간과 주간 일정도 달라질 수 있어, 산포도 학습은 긴 진도보다 한 유형을 독립적으로 설명하는 단위로 나누어 점검했다.
수업 뒤에는 같은 숫자를 다시 풀게 하지 않고 조건을 바꾸었다.
E: 3, 5, 5, 7, 10
F: 1, 4, 5, 8, 12
학생은 먼저 두 자료의 평균을 각각 계산해 E는 6, F는 6이라고 확인했다. 이어 범위는 E가 7, F가 11임을 구했고, 분산을 비교하기 위해 편차를 제곱했다. E의 분산은 (9+1+1+1+16)÷5=28÷5, F의 분산은 (25+4+1+4+36)÷5=70÷5이므로 F가 더 큰 산포도를 가진다고 설명했다. 이번에는 표의 순서를 바꾸고 평균을 먼저 제시하지 않았는데도, 학생은 자료를 정렬하거나 공식을 바로 쓰기보다 평균과 비교 기준을 먼저 정했다.
산포도에서 독립 적용을 확인하는 기준은 공식을 빈칸 없이 쓰는 것이 아니다. 평균이 같은지 다른지, 범위와 분산 중 무엇을 비교해야 하는지, 편차를 왜 제곱하는지 새 조건에서 말하고 계산할 수 있어야 한다. 학생이 마지막 문제에서 “평균의 합이 아니라 평균에서 떨어진 거리의 전체적인 크기를 비교한다”고 설명한 뒤에야 이 단원의 풀이가 계산 암기에서 벗어났다고 판단했다.