시흥중1수학과외, 정비례와 반비례를 식보다 변화 방식으로 구분하는 연습
“두 값이 함께 커지니까 정비례인 것 같아요.” 중1 학생이 표를 보고 이렇게 말했지만, 실제 값은 한쪽이 2배가 될 때 다른 쪽이 절반으로 줄어드는 반비례 상황이었다. 식을 먼저 외운 학생은 표와 그래프의 모양이 조금만 달라져도 정비례와 반비례를 바꾸어 선택하기 쉽다. 시흥중1수학과외에서는 비례식을 바로 세우기보다 한 값이 변할 때 다른 값이 어떤 방식으로 변하는지를 먼저 읽는 데서 시작한다.
시흥에는 군자중학교, 논곡중학교, 대흥중학교, 배곧라라중학교, 배곧중학교, 배곧해솔중학교 등 여러 중학교가 있고 배곧동·능곡동·월곶동·조남동·장곡동·장현동처럼 생활권과 주간 일정도 다를 수 있다. 따라서 특정 학교의 시험 경향을 일반화하기보다, 학교 프린트와 수업 자료에서 표·그래프·문장으로 제시된 비례 상황을 학생이 어떻게 해석하는지 확인하는 과정이 필요하다.
식보다 먼저 확인할 변화의 규칙
정비례는 한 값이 일정한 배수로 변할 때 다른 값도 같은 배수로 변하는 관계다. 예를 들어 문구점에서 연필 한 자루의 가격이 800원으로 일정하다면 연필 수를 x자루, 가격을 y원이라 할 때 y=800x로 나타낼 수 있다. 연필 수가 2배가 되면 가격도 2배가 되고, 3배가 되면 가격도 3배가 된다. 이때 y÷x의 값이 항상 800인지 확인하면 정비례 여부를 점검할 수 있다.
반비례는 한 값이 일정한 배수로 커질 때 다른 값이 그 역수 배로 변하는 관계다. 예를 들어 같은 거리를 이동할 때 속력을 x, 걸리는 시간을 y라고 하면 다른 조건이 같을 때 xy가 일정하다. 속력이 2배가 되면 시간은 절반이 되고, 속력이 4배가 되면 시간은 4분의 1이 된다. 이때는 y÷x가 아니라 xy의 값이 일정한지 살펴본다.
학생은 문제를 읽자마자 ‘비’라는 단어만 보고 정비례를 고르거나, 표의 숫자가 함께 커지는지 여부만 확인하는 경우가 있다. 그러나 반비례에서도 표의 처음 몇 칸은 숫자가 우연히 함께 커져 보일 수 있다. 한 학생이 다음 표를 보고 정비례라고 판단했다고 가정해 보자.
- x: 1, 2, 4, 8
- y: 24, 12, 6, 3
학생의 답안에는 y=24x가 적혀 있었다. 하지만 x가 1에서 2로 2배가 될 때 y는 24에서 12로 절반이 된다. 각 쌍을 곱하면 1×24=24, 2×12=24, 4×6=24, 8×3=24이므로 xy가 일정한 반비례 관계이며 식은 y=24/x이다. 여기서 막힌 원인은 계산 능력보다 ‘함께 변한다’는 말을 ‘같은 방향으로 변한다’고만 해석한 데 있다.
표와 그래프를 읽는 순서를 고정하기
수정할 때는 식을 먼저 쓰지 않고 다음 세 칸을 문제 옆에 만든다. 첫째, x가 몇 배가 되었는지 표시한다. 둘째, y가 몇 배가 되었는지 적는다. 셋째, x와 y의 곱 또는 y÷x 중 일정한 값을 확인한다.
예를 들어 x가 3에서 6으로 변하고 y가 10에서 20으로 변했다면 두 값 모두 2배이므로 정비례 가능성을 확인한다. 실제로 y÷x는 10/3과 20/6으로 같으므로 정비례이고, 식은 y=10/3x이다. 반대로 x가 3에서 6으로 2배가 되었는데 y가 10에서 5로 절반이 되었다면 xy가 30으로 일정하므로 반비례다. 학생은 이 과정을 말로 설명한 뒤 식을 적어야 한다.
그래프에서는 원점을 지나는 직선인지도 확인할 수 있지만, 그래프 모양만 보고 판단하지 않는다. 정비례 그래프는 y=ax 꼴이며 a의 값에 따라 기울기가 달라진다. 반비례 그래프는 y=a/x 꼴의 곡선으로 나타난다. 표에서 잘못 읽은 관계를 그래프에 옮길 때는 먼저 좌표를 순서쌍 (x,y)로 적고, x와 y를 바꾸지 않도록 표의 열 제목을 확인한다.
조건이 바뀐 문제에서 다시 확인하기
같은 문제를 바로 다시 풀어 맞히는 것만으로는 구분이 끝났다고 보기 어렵다. 한 중1 학생의 학습 장면을 가정해 보면, 처음에는 ‘사과의 개수와 가격’ 문제에서 정비례를 맞힌 뒤 다음 날 ‘일정한 거리를 이동하는 속력과 시간’ 문제에서 다시 정비례라고 답할 수 있다. 숫자를 기억해서 푼 것이지 변화 규칙을 이해한 것은 아니기 때문이다.
따라서 다음 검증에서는 숫자와 표현을 바꾼다. 먼저 단가가 900원인 물건의 개수와 총액 표를 제시하고, 이어서 작업 인원과 작업 시간이 주어진다. 작업량이 같고 한 사람의 작업 능력이 같다면 인원이 2배가 될 때 시간은 절반으로 줄어드는 반비례 관계가 된다. 학생은 각 문제에서 ‘같은 배수로 변하는가’, ‘곱이 일정한가’를 직접 표시해야 한다.
그래프를 함께 제시할 때는 표와 그래프를 연결한다. 정비례 표에서 (0,0), (1,4), (2,8)을 찍었다면 원점을 지나는 직선이 되는지 확인하고, 반비례 표에서 (1,12), (2,6), (3,4)를 찍었다면 곡선 위에 놓이는지 확인한다. 단, 그래프의 모양만 보고 결론을 내리지 말고 표의 비율 또는 곱을 다시 계산한다.
주간 학습에서 확인할 독립 적용
수행평가가 있는 주에는 지필 복습을 며칠씩 중단하기보다, 정비례·반비례 자료를 한 문제씩 짧게 표시하는 방식으로 연결할 수 있다. 시간이 부족한 날에는 새 문제를 많이 풀기보다 표의 x와 y에 단위를 적고, 변화 배수와 일정한 값을 표시한 뒤 식을 세우는 훈련을 한다.
검증 결과는 정답보다 설명의 정확성으로 판단한다. 숫자를 바꾸거나 표의 순서를 바꾸어도 정비례에서는 y/x가 일정한지, 반비례에서는 xy가 일정한지 구분해야 한다. 문장 표현이 ‘속도가 빨라질수록 시간은 줄어든다’처럼 바뀌어도 변화 방향과 배수 관계를 찾아 식으로 옮긴다면, 학생은 공식을 외운 단계를 넘어 새로운 중1 비례 문제를 독립적으로 해석하고 있는 것이다.