조남동중3수학과외, 자료를 더하고 빼도 산포 판단을 놓치지 않기
학생은 자료의 개수가 바뀌는 문제에서 평균만 다시 계산하고 답을 끝냈다. 예를 들어 자료가 2, 4, 4, 6, 9일 때 평균을 구한 뒤 1과 10을 각각 추가하는 상황에서, “자료가 두 개 늘었으니 산포도 커진다”고 판단했다. 그러나 자료의 개수와 산포의 크기는 같은 뜻이 아니다. 새 자료가 기존 평균 근처에 들어오는지, 멀리 떨어지는지에 따라 분산과 표준편차의 변화가 달라진다.
평균의 변화와 산포의 변화를 한 문장으로 묶지 않기
처음 자료의 평균은 5이다. 각 자료의 평균으로부터의 편차는 -3, -1, -1, 1, 4이고, 편차의 제곱은 9, 1, 1, 1, 16이다. 따라서 편차 제곱의 합은 28이다. 중학교 과정에서 분산을 자료 수로 나누어 계산하면 분산은 28÷5로 정리된다.
이때 5에 가까운 5를 하나 더 넣으면 새 자료의 편차는 0이다. 자료 수는 6개가 되지만 기존 평균 주변에 값이 추가되므로 산포가 단순히 커졌다고 할 수 없다. 반대로 15를 추가하면 새 평균부터 다시 구해야 하며, 15의 편차만 보는 것으로도 결론을 내릴 수 없다. 평균이 5에서 달라지기 때문이다.
학생이 처음에는 “새 자료가 평균에서 멀다”는 한 가지 이유만 말했지만, 수정 뒤에는 먼저 자료를 추가한 뒤 평균을 다시 계산하고, 모든 자료의 편차 또는 편차 제곱을 비교했다. 자료를 삭제할 때도 삭제된 값 하나만 보는 것이 아니라 삭제 후 남은 자료의 평균과 산포를 다시 확인하도록 풀이 순서를 바꾸었다.
자료 추가 문제에서 먼저 표시할 조건
자료의 추가·삭제 문제는 계산 전에 세 가지를 구분해야 한다. 평균이 변하는지, 자료의 개수가 변하는지, 산포를 판단하는 기준이 분산인지 표준편차인지 확인하는 것이다. 특히 “평균은 변하지 않는다”는 조건이 있으면 새로 들어온 자료의 합이 기존 평균을 유지하도록 해야 한다.
평균이 6인 자료 4개에 어떤 수를 하나 추가해도 평균이 6으로 유지된다고 하자. 기존 자료의 합은 24이므로 추가할 수는 6이다. 이 자료는 평균에서 떨어진 정도가 0이어서 편차 제곱의 합을 늘리지 않는다. 다만 분산의 분모는 4에서 5로 바뀐다. 따라서 학생은 “자료를 하나 넣었으니 산포가 같다”가 아니라, 편차 제곱의 합과 자료 수를 각각 확인해야 한다.
반대로 평균이 유지된다는 조건 없이 자료 10을 추가하면 새 평균은 6이 아니다. 이 경우 기존 평균 6을 기준으로 새 자료의 거리를 판단하면 안 된다. 학생의 학습지에는 평균을 먼저 계산하지 않고 표준편차가 증가한다고 표시한 흔적이 있었는데, 이제는 문제 문장에서 평균 유지 여부에 밑줄을 긋고, 유지되지 않으면 새 평균을 계산한 뒤 산포를 비교한다.
두 풀이가 모두 그럴듯할 때 산포의 기준을 확인하기
자료 A가 3, 5, 7이고 자료 B가 1, 5, 9라면 두 자료의 평균은 모두 5이다. 평균만 비교하면 같은 자료처럼 보이지만, A의 편차는 -2, 0, 2이고 B의 편차는 -4, 0, 4이다. 평균이 같아도 B의 편차 제곱이 더 크므로 B의 분산과 표준편차가 더 크다.
학생은 이전에 최댓값과 최솟값의 차이만 보고 산포를 결정했다. 범위가 산포를 보여 주는 한 방법이기는 하지만, 문제에서 분산이나 표준편차를 요구하면 모든 자료의 평균으로부터의 편차를 사용해야 한다. 수정 행동은 표를 만드는 것이다. 자료, 평균과의 차, 그 차의 제곱을 세 칸으로 나누어 적고 마지막에 합을 구한다. 음의 편차를 그대로 더하면 0이 될 수 있으므로 편차 제곱을 적는 과정도 생략하지 않는다.
조남동에서 학교 일정에 맞춰 산포 판단을 나누어 연습하기
조남동 내 중학교로 확인된 조남중학교의 시험 범위와 수행평가 일정을 기준으로 자료 추가·삭제 문제를 한 번에 몰아 풀기보다, 평일 귀가 시간이 이른 날에는 평균과 편차를 표로 작성하고, 시간이 짧은 날에는 조건 판별 문항만 풀도록 계획할 수 있다. 같은 시흥시의 군자중학교, 논곡중학교, 대흥중학교, 배곧라라중학교는 참고 학교로 구분해야 하며 조남동 소재 학교라고 단정하지 않는다. 학교별 실제 시험 일정은 확인된 안내를 기준으로 조정하고, 확인되지 않은 범위나 난도를 임의로 정하지 않는다.
수행평가 직전에는 계산량을 늘리기보다 “평균이 유지되는가”, “추가된 자료가 평균과 같은가”, “자료 수만 변하는가”를 고르는 문제를 먼저 배치한다. 귀가가 늦은 날에는 학생이 문제의 조건에 표시한 뒤 결론의 근거를 한 문장으로 쓰게 한다. 예를 들어 “새 평균을 구한 뒤 편차 제곱의 평균을 비교했으므로 B의 산포가 크다”처럼 계산 결과와 판단 근거를 연결한다.
숫자와 구하는 대상을 바꾼 독립 검증
새 문제에서는 자료 4, 6, 6, 8에 6을 추가하는 경우와 0을 추가하는 경우를 비교하게 했다. 학생은 먼저 기존 평균이 6임을 구하고, 6을 추가하면 편차 제곱의 합은 그대로지만 분모가 바뀐다는 점을 설명했다. 0을 추가할 때는 평균이 6에서 달라지므로 새 평균을 다시 계산해야 한다고 말했다.
마지막에는 평균이 아니라 표준편차를 구하도록 조건을 바꾸고, 자료를 하나 삭제하는 문제를 제시했다. 학생은 삭제할 자료에 표시한 뒤 남은 자료 수를 세고, 평균과 편차 제곱을 다시 작성했다. 같은 숫자를 반복해 맞힌 것이 아니라 추가와 삭제, 평균 유지와 평균 변화, 분산과 표준편차라는 조건을 구별해 첫 행동을 스스로 선택한 점을 확인할 수 있었다.