장현동중3수학과외, 자료를 더하고 빼도 산포를 판단하는 방법
“자료 하나를 빼면 평균만 다시 구하면 되죠?”
장현동의 한 중학생은 산포를 묻는 문제에서 자료의 평균은 계산했지만, 자료가 추가되거나 삭제된 뒤 분산과 표준편차가 어떻게 달라지는지는 설명하지 못했다. 예를 들어 자료가 2, 4, 6일 때 평균을 4로 구한 뒤, “6을 빼면 자료가 평균에 가까워지므로 산포도 작아진다”고 바로 답했다. 결론은 맞을 수 있지만, 자료의 개수와 새로운 평균을 확인하지 않은 상태였다.
산포 문제에서는 자료가 바뀌었다는 사실보다 평균에서 각 자료가 얼마나 떨어져 있는지가 중요하다. 따라서 자료를 추가하거나 삭제할 때는 기존 평균을 그대로 사용하지 않고, 먼저 새 자료 전체의 평균을 다시 확인해야 한다.
평균이 바뀌면 편차도 함께 바뀐다
자료 2, 4, 6의 평균은 4이다. 각 자료의 편차는 -2, 0, 2이고, 편차의 제곱은 4, 0, 4이다. 따라서 분산은
(4+0+4)÷3=8/3
이며, 표준편차는 √(8/3)이다. 여기서 6을 삭제하면 남은 자료는 2, 4가 되고 새 평균은 3이 된다. 새 편차는 -1, 1, 편차의 제곱은 1, 1이므로 분산은
(1+1)÷2=1
이다. 단순히 기존 분산에서 6에 해당하는 값을 빼는 것으로 끝나지 않는 이유는 자료의 개수뿐 아니라 평균 자체가 4에서 3으로 바뀌었기 때문이다.
학생에게는 계산표의 첫 칸에 ‘새 자료’, 둘째 칸에 ‘새 평균과의 편차’, 셋째 칸에 ‘편차의 제곱’을 쓰게 했다. 이 세 칸을 만들지 않고 머릿속으로 산포의 크기만 비교하던 행동을 먼저 멈춘 것이다. 특히 편차를 더하면 항상 0이 된다는 사실과, 분산은 편차의 제곱을 이용한다는 사실을 구분하게 했다.
자료를 추가할 때는 평균에서의 위치를 먼저 본다
이번에는 2, 4, 6에 4를 하나 추가했다. 새 자료는 2, 4, 4, 6이고 평균은 4이다. 편차의 제곱은 4, 0, 0, 4이므로 분산은
(4+0+0+4)÷4=2
이다. 기존 분산 8/3보다 작아졌다. 평균과 같은 값인 4가 추가되면서 자료 하나가 편차의 제곱 0을 더했고, 전체 자료 수는 늘었기 때문이다.
하지만 평균에서 멀리 떨어진 자료가 추가되면 반대 결과가 생길 수 있다. 2, 4, 6에 10을 추가하면 새 평균은 22÷4=5.5이다. 편차의 제곱은 12.25, 2.25, 0.25, 20.25이고 그 합은 35이다. 따라서 분산은 35÷4=8.75로 커진다. 학생이 “자료가 많아지면 분산은 작아진다”고 말했던 부분은 자료의 개수만 보고 판단한 오류였다.
장현동 생활권에서 문제 조건을 읽는 연습
장현4단지나 장현LH23단지처럼 생활권 안에서 여러 통학 시간을 비교하는 상황을 생각할 수 있다. 다만 실제 통학 시간 자료가 제시되지 않았다면 학교별 시간이나 지역의 학습 수준을 임의로 정할 수 없다. 문제에 주어진 자료만 표로 옮기고, 평균과 각 편차를 계산해야 한다.
장현동 소재 중학교로 제공된 학교는 시흥가온중학교이며, 군자중학교·논곡중학교·대흥중학교·배곧라라중학교는 같은 시흥시의 통학권 참고 학교다. 학교가 다르다는 이유만으로 산포가 크다고 판단하지 않고, 문제에 제시된 실제 수치의 분산과 표준편차를 비교하도록 지도한다. 중학교에서 고등학교로 이동하며 통학·과제·시험 일정이 늘어나는 상황을 자료로 표현하더라도, 먼저 자료의 단위와 개수를 확인하는 절차가 필요하다.
학생이 바꾼 풀이 순서
처음에는 학생이 자료가 삭제된 문항에서 기존 평균을 그대로 대입했다. 수정 후에는 문제의 변화된 자료에 표시하고, 자료 개수를 세고, 새 평균을 구한 다음 편차 제곱표를 작성했다. 마지막으로 분산을 계산한 뒤 표준편차가 필요할 때만 그 값의 제곱근을 취했다. 분산과 표준편차를 비교할 때 단위를 섞지 않도록, 분산은 편차 제곱의 평균이고 표준편차는 분산의 제곱근이라고 말로 확인했다.
숫자를 바꾼 독립 검증
새 문제로 자료 3, 5, 5, 7에서 7을 삭제하고 산포를 비교하게 했다. 학생은 남은 자료 3, 5, 5의 평균이 13/3이라는 것을 먼저 구하고, 기존 평균 5를 그대로 사용하지 않았다. 새 평균에서의 편차를 계산하면 -4/3, 2/3, 2/3이고 편차의 제곱의 합은 16/9+4/9+4/9=24/9=8/3이다. 따라서 분산은 (8/3)÷3=8/9이다.
이후 3, 5, 5, 7에 5를 추가한 경우도 제시했다. 평균은 여전히 5이고 편차 제곱의 합은 4+0+0+4+0=8, 분산은 8/5이다. 학생은 자료가 추가되었다는 말에 자동으로 산포가 커지거나 작아진다고 답하지 않고, 추가된 값이 새 평균에서 어디에 놓이는지부터 확인했다. 숫자와 자료 개수가 바뀐 뒤에도 이 첫 행동이 유지되는지가 산포 단원을 독립적으로 적용했는지 판단하는 기준이 된다.