장곡동중3수학과외, 자료를 더하고 뺄 때 산포가 어떻게 달라지는지 확인하기
학생이 다음 자료의 평균과 분산을 구했다.
자료: 2, 4, 4, 6, 9
평균: 5
편차제곱의 합: 30
분산: 6
여기까지는 모두 맞았다. 하지만 이어진 질문에서 “자료 9를 삭제하면 분산은 작아지나요?”라고 묻자 학생은 곧바로 “자료 하나가 빠졌으니 자료가 덜 퍼져서 작아진다”고 답했다. 실제로는 삭제되는 값과 새 평균의 위치를 함께 확인해야 한다. 산포는 자료의 개수만으로 결정되지 않고, 각 자료가 평균에서 얼마나 떨어져 있는지에 따라 달라지기 때문이다.
분산은 자료 개수가 아니라 새 평균과의 거리로 판단한다
처음 자료의 합은 25, 평균은 5이다. 각 자료의 편차는 -3, -1, -1, 1, 4이고 편차제곱은 9, 1, 1, 1, 16이다. 따라서 편차제곱의 합은 28이며, 분산은 28÷5=5.6이다. 학생이 적은 30은 계산 과정에서 9의 편차제곱을 17로 옮겨 적은 오답이었다.
이 장면에서 학생은 마지막 나눗셈만 고치려 했다. 그러나 수정해야 할 행동은 먼저 자료마다 평균을 빼고, 그 결과를 다시 제곱하는 것이다. 음의 편차와 양의 편차를 그대로 더하면 서로 지워지므로 산포를 비교할 수 없다. 또한 분산은 편차제곱의 합을 자료 개수로 나눈 값이라는 식까지 함께 적어야 한다.
9를 삭제한 자료는 2, 4, 4, 6이다. 새 합은 16, 새 평균은 4이다. 편차는 -2, 0, 0, 2, 편차제곱의 합은 8이므로 새 분산은 8÷4=2이다. 이 경우에는 평균에서 멀리 떨어진 9가 빠져 분산이 줄어든다. ‘하나를 삭제했기 때문’이 아니라 ‘평균에서 가장 먼 자료가 빠졌기 때문’이라는 설명이 정확하다.
자료를 추가할 때는 추가값과 평균의 이동을 같이 기록한다
같은 자료에 5를 하나 추가해 보자. 새 자료는 2, 4, 4, 5, 6, 9이고 합은 30, 평균은 5이다. 기존 평균과 같은 값이 들어왔으므로 평균은 움직이지 않는다. 기존 편차제곱의 합 28에 새 자료 5의 편차제곱 0을 더하고, 자료 개수 6으로 나누면 분산은 28÷6=14/3이다. 원래 분산 28÷5와 비교하면 작아진다.
학생이 처음에는 “자료가 하나 늘었으니 분산도 커진다”고 적었다. 이때는 자료 개수의 변화만 보고 있었다. 풀이표의 첫 줄에 ‘새 합’, 둘째 줄에 ‘새 평균’, 셋째 줄에 ‘각 자료의 새 편차’를 쓰게 하자 판단이 달라졌다. 평균과 같은 자료를 추가하면 편차제곱의 합은 늘지 않고 분모만 커질 수 있다.
반대로 평균과 멀리 떨어진 15를 추가하면 새 평균은 40÷6=20/3이 된다. 각 자료의 기준점 자체가 5에서 20/3으로 이동하므로 기존 분산에 단순히 100을 더해서는 안 된다. 학생이 새 자료의 편차만 계산하는 대신, 전체 자료에 대해 새 평균을 다시 적용해야 하는 이유가 여기에 있다.
맞힌 답에도 식과 조건을 붙여 말하게 한다
산포 문제에서는 숫자 하나를 맞히는 것보다 어떤 분산을 구했는지 확인하는 과정이 필요하다. 문제에서 제시한 자료 전체의 분산인지, 특정 자료를 삭제한 뒤의 분산인지, 새 자료를 추가한 뒤의 분산인지 조건에 표시한다. 학생은 이전에 삭제 전 자료의 평균 5를 삭제 후에도 그대로 사용했다. 따라서 9를 뺀 뒤에도 편차를 -3, -1, -1, 1로 계산했다.
이를 고치기 위해 학생은 문제에서 ‘삭제’, ‘추가’, ‘새 자료’를 동그라미 치고, 옆에 새 합과 새 개수를 적는다. 그다음 평균을 다시 구한 후 표를 만든다.
- 자료: 2, 4, 4, 6
- 새 평균: 4
- 편차: -2, 0, 0, 2
- 편차제곱의 합: 8
- 분산: 8÷4=2
마지막에는 분산이 음수가 아닌지, 평균에서 먼 값의 삭제가 결과와 맞는지, 계산한 분산의 기준 자료가 문제의 조건과 같은지 확인한다. 표준편차를 요구하지 않았는데 분산에 제곱근을 씌우거나, 분산을 구하면서 편차의 절댓값만 더하는 행동도 이 단계에서 걸러낼 수 있다.
장곡동 학교 일정에 맞춘 확인 장면
장곡동에는 2025년 주소 기준 응곡중학교와 장곡중학교가 지역 내 중학교로 확인된다. 같은 시흥시의 군자중학교, 논곡중학교, 대흥중학교는 참고 학교이므로 장곡동 소재 학교로 구분해 다룬다. 학교별 시험 범위와 수행평가 일정이 다를 수 있어, 평일 귀가 후 긴 문제 세트를 무리하게 배치하기보다 시험 범위에 포함된 자료표 한 문항을 풀이하고 계산 근거를 말하는 시간을 먼저 확보하는 방식이 적절하다.
예를 들어 귀가가 늦은 날에는 ‘자료 6개에서 평균과 분산을 구한 뒤, 평균과 같은 자료를 하나 추가했을 때 무엇을 다시 계산해야 하는가’를 말로 확인한다. 시간이 더 있는 날에는 자료 하나를 삭제한 변형문제를 풀고 편차제곱표까지 작성한다. 중요한 것은 문제 수가 아니라 자료가 바뀌었을 때 평균과 편차를 다시 설정하는지 확인하는 것이다.
새 숫자에서 절차를 다시 꺼내는지 확인한다
마지막 검증에서는 처음 문제의 숫자를 바꿔 제시했다.
자료 3, 5, 5, 7, 10에서 10을 삭제하고 새 분산을 구하여라.
학생은 이전처럼 평균 6을 그대로 쓰지 않고, 먼저 남은 자료의 합 20과 개수 4를 적어 새 평균 5를 구했다. 편차는 -2, 0, 0, 2, 편차제곱의 합은 8이므로 분산은 2이다. 이어 “평균에서 가장 먼 10을 삭제했기 때문에 처음보다 산포가 줄어들 가능성이 있지만, 실제 분산은 새 평균으로 계산해야 한다”고 설명했다.
이 답안은 정답 2를 기억한 것이 아니라, 자료 변화 확인 → 새 평균 계산 → 편차제곱 합산 → 자료 개수로 나누기라는 절차를 새로운 숫자에서도 적용한 결과다. 산포 단원에서 맞힌 뒤 확인해야 할 것은 답의 모양이 아니라 식, 성질, 조건이 끝까지 같은 대상을 가리키는지 여부다.