월곶동중3수학과외, 평균이 같아도 자료를 같은 방식으로 읽는가
“두 자료의 평균이 모두 12이므로 두 자료는 비슷하다.”
월곶중학교 학생이 통계 문제의 서술형 답안에 이렇게 적었다. 계산 결과만 보면 평균을 구하는 과정은 맞았지만, 자료의 분포를 비교하라는 질문에는 충분한 답이 아니었다. 평균은 자료 전체의 합을 자료의 개수로 나눈 값이므로, 같은 평균을 가진 두 자료라도 숫자의 모임과 흩어진 정도는 달라질 수 있다.
예를 들어 자료 A가 10, 11, 12, 13, 14이고 자료 B가 2, 7, 12, 17, 22라면 두 자료의 평균은 모두 12이다. 그러나 A는 평균 주변에 모여 있고 B는 평균에서 멀리 떨어져 있다. 학생은 평균 계산 뒤 바로 “두 자료가 같다”고 결론 내렸고, 각 값이 평균에서 얼마나 떨어져 있는지는 적지 않았다. 이 장면에서 필요한 것은 계산량을 늘리는 일이 아니라, 질문이 요구하는 비교 기준을 먼저 표시하는 행동이다.
같은 평균이라는 말이 알려 주는 범위
평균이 같다는 것은 두 자료의 전체 합을 자료 수로 나눈 값이 같다는 뜻이다. 자료의 개수가 같다면 합도 같지만, 각 자료가 평균을 중심으로 어떻게 배치되었는지는 별도로 살펴봐야 한다. 따라서 “평균이 같다”와 “자료의 특징이 같다”를 같은 문장으로 바꾸면 안 된다.
학생에게는 문제의 요구를 세 부분으로 나누어 표시하게 했다. 먼저 평균을 비교하는지, 최댓값과 최솟값을 비교하는지, 자료가 얼마나 퍼져 있는지를 비교하는지 확인한다. 그다음 숫자를 크기순으로 배열하고 평균에서의 차이를 계산한다. 마지막으로 계산 결과를 자료의 모습과 연결해 문장으로 쓴다.
평균에서 떨어진 정도를 부호까지 기록하기
평균이 12인 자료 A에서 각 값의 편차는 다음과 같다.
10-12=-2, 11-12=-1, 12-12=0, 13-12=1, 14-12=2
자료 B의 편차는 -10, -5, 0, 5, 10이다. 학생은 처음에 음수 편차를 계산한 뒤 “음수는 틀린 값”이라며 모두 양수로 바꾸려 했다. 하지만 평균보다 작은 값의 편차가 음수로 나타나는 것은 정상이다. 편차의 합이 0이 되는지도 확인할 수 있다. A의 편차 합은 0이고 B도 -10-5+0+5+10=0이다. 이 결과는 평균을 기준으로 자료가 양쪽에 놓인다는 점을 보여 주지만, 퍼진 정도를 비교하려면 음수와 양수가 서로 지워지지 않도록 제곱하거나 절댓값을 활용해야 한다.
중3 과정에서 분산과 표준편차를 다루는 경우에는 편차를 제곱해 평균을 구한다. A의 편차 제곱은 4, 1, 0, 1, 4이고 평균은 2이다. B의 편차 제곱은 100, 25, 0, 25, 100이며 평균은 50이다. 두 자료의 평균은 같지만 B의 분산이 더 크므로 B가 평균에서 더 넓게 퍼져 있다고 설명할 수 있다. 표준편차까지 계산한다면 A는 √2, B는 √50으로 B가 더 크다.
학생이 바꾼 풀이 순서
이후 같은 유형의 문제에서 학생은 숫자를 보자마자 평균부터 계산하지 않았다. “무엇을 비교하라는 문제인가?”에 먼저 밑줄을 긋고, 두 자료의 개수와 평균을 확인한 뒤 평균으로부터의 차이를 표에 정리했다.
- 자료의 개수와 합을 확인한다.
- 평균을 구하고 각 자료에서 평균을 뺀다.
- 편차의 부호를 임의로 바꾸지 않는다.
- 퍼진 정도를 묻는다면 편차 제곱, 분산 또는 표준편차를 비교한다.
- 계산 결과를 “평균은 같지만 어느 자료가 더 퍼져 있다”처럼 문장으로 해석한다.
특히 평균이 같은 두 자료의 막대그래프가 제시되었을 때는 막대의 높이 하나만 보고 판단하지 않도록 했다. 가로축의 자료값과 세로축의 도수를 읽고, 자료를 직접 나열한 뒤 평균과 분산의 의미를 연결했다. 그림이 표로 바뀌어도 먼저 자료값과 도수를 확인하는 첫 행동은 같아야 한다.
통학 뒤 확보한 짧은 시간에 할 수 있는 검증
월곶동풍림아파트 등 생활권에서 월곶중학교를 오가는 통학 동선과 방과후 이동 시간을 고려하면, 한 번에 많은 문제를 푸는 계획보다 한 문항의 표현을 바꾸어 다시 설명하는 방식이 현실적이다. 월곶동 내 학교로 확인된 곳은 월곶중학교이며, 군자중학교·논곡중학교·대흥중학교·배곧라라중학교는 같은 시흥시의 통학권 참고 학교로 구분해 보았다. 학교별 출제경향을 단정하기보다, 학교 프린트에서 표가 그래프로 바뀌거나 구하는 대상이 평균에서 분산으로 바뀌는 상황에 대응하도록 연습하는 데 초점을 둔다.
학생에게는 통학 후 20분 동안 먼저 다음 변형 문제를 제시했다. 자료 C는 6, 8, 10, 12이고 자료 D는 4, 8, 10, 14이다. 두 자료의 평균은 모두 9이지만, 어느 자료가 더 퍼져 있는지 설명하라는 문제였다. 학생은 처음에 최댓값만 비교하려 했지만, 평균에서의 편차를 다시 기록했다.
C의 편차는 -3, -1, 1, 3이고 편차 제곱의 평균은 5이다. D의 편차는 -5, -1, 1, 5이고 편차 제곱의 평균은 13이다. 따라서 평균은 같지만 D의 분산이 더 크다고 답했다. 이번에는 자료가 직접 제시되지 않고 평균과 편차 일부가 표로 주어졌는데도, 평균을 기준으로 차이를 구해야 한다는 원리를 도움 없이 꺼냈다.
정답 뒤에 남겨야 하는 한 문장
통계 문제에서 답을 맞혔다는 사실만으로 자료를 제대로 비교했다고 보기는 어렵다. 평균이 같은 두 자료를 만났을 때 학생이 평균만 반복하지 않고, 편차와 분산 또는 표준편차를 선택해 자료의 흩어진 정도를 설명하는지가 확인 기준이 된다. 숫자와 표의 모양이 달라져도 “평균을 기준으로 각 값이 얼마나 떨어져 있는가”를 먼저 묻는다면 같은 개념을 독립적으로 적용할 수 있다.