배곧동중2수학과외, 내심과 외심을 그림에서 식으로 바꾸는 연습
배곧동에서 중2 학생의 수학 학습을 살펴보면 삼각형 안에 표시된 점의 위치는 기억하지만, 그 위치가 어떤 선의 교점이며 어떤 길이 관계를 만드는지는 설명하지 못하는 경우가 있습니다. 특히 내심과 외심을 색칠된 그림으로만 외운 학생은 문제의 모양이 바뀌는 순간 풀이를 멈춥니다. 중요한 것은 ‘안쪽에 있는 점’, ‘가운데쯤 있는 점’이라는 시각적 기억을 정의와 식으로 다시 연결하는 일입니다.
그림의 위치를 정의로 번역하기
내심은 삼각형의 세 내각의 이등분선이 만나는 점입니다. 따라서 내심에서 세 변에 내린 수선의 길이는 모두 같습니다. 외심은 삼각형 세 변의 수직이등분선이 만나는 점이며, 외심에서 세 꼭짓점까지의 거리가 같습니다. 그림에서 점의 위치만 보고 판단하지 않고, 어떤 선이 그 점을 지나며 무엇을 이등분하는지를 먼저 확인해야 합니다.
예를 들어 삼각형 ABC에서 I가 내심이라면 AI가 각 A의 이등분선이고, I에서 AB와 AC에 내린 수선의 발을 각각 D, E라고 할 때 ∠AID와 ∠AIE를 따로 비교하는 것이 아니라 ID=IE라는 관계를 찾아야 합니다. O가 외심이라면 OA=OB=OC가 핵심입니다. 점이 삼각형 안에 있는지 밖에 있는지는 외심의 위치를 판단하는 참고가 될 수 있지만, 정의 자체를 대신하지는 않습니다.
위치를 먼저 말하지 말고, “어떤 선의 교점인가?”, “같다고 놓을 수 있는 길이는 무엇인가?”를 문장으로 적은 뒤 식으로 옮깁니다.
배곧동 학생에게 나타난 실제 막힘
한 학생은 문제집에서 “삼각형 ABC의 외심을 O라 할 때 OA의 길이를 구하여라”라는 문장을 보고 그림 속 O가 삼각형 안에 있다는 이유로 내심이라고 답했습니다. 또 다른 문항에서는 I가 내심이라는 조건이 주어졌는데도 AI가 각 A를 이등분한다는 사실을 쓰지 않고, 그림에 표시된 작은 각 하나만 보고 각도를 추측했습니다.
학교 프린트에는 ‘세 변의 수직이등분선의 교점’이라고 쓰여 있고 문제집에는 ‘세 꼭짓점에서 같은 거리에 있는 점’이라고 쓰여 있자, 두 표현을 서로 다른 단원으로 받아들이기도 했습니다. 실제로는 외심의 같은 정의를 선의 관점과 거리의 관점에서 각각 나타낸 것입니다. 문제 문장이 길어지면 조건을 읽는 대신 그림부터 베껴 그리고, 풀이가 막힌 원인을 시험지 여백에 ‘계산 실수’라고만 적는 행동도 보였습니다.
정의에서 중간식까지 끊어 쓰기
먼저 삼각형 그림에서 내심 또는 외심을 표시한 뒤 관련된 선을 직접 그립니다. 내심이면 세 각의 이등분선 중 문제에 필요한 것만 표시하고, 외심이면 두 변의 수직이등분선을 그려 교점을 확인합니다. 선분의 길이를 문자로 바꾸는 단계도 생략하지 않습니다. OA=OB이고 OB=OC이면 OA=OC라고 한 줄씩 적어, 그림의 모양이 아니라 등식의 연결로 판단하게 합니다.
각의 이등분선이 등장하면 주어진 각을 두 부분으로 나누어 ∠BAI=∠IAC처럼 적습니다. 외심 문제에서 AB의 수직이등분선 위에 O가 있다면 OA=OB를 기록합니다. 직각삼각형이 만들어진 경우에는 직각 표시를 확인한 뒤에만 피타고라스 정리를 사용할 수 있습니다. 직각 표시 없이 그림이 직각처럼 보인다는 이유로 제곱식을 세우지 않도록 합니다.
학교 프린트와 문제집을 나란히 놓고 ‘정의 표현’, ‘그림에 표시된 조건’, ‘구해야 할 값’ 세 부분에 각각 표시합니다. 표현이 달라도 같은 조건인지 확인한 뒤, 내심·외심을 구분하는 근거를 한 문장으로 씁니다. 피곤한 날에는 새 고난도 문제보다 선의 종류를 분류하고 등식을 옮기는 훈련을 먼저 배치해 풀이 기준이 흐려지지 않게 합니다.
문제 모양을 바꾼 독립 검증
같은 문제를 다시 풀어 맞히는 것으로 확인하지 않습니다. 처음에는 내심 I가 주어진 삼각형에서 각의 크기를 구하게 하고, 다음에는 외심 O와 두 변의 길이가 주어진 그림에서 OA, OB, OC의 관계를 설명하게 합니다. 점의 위치를 삼각형 안쪽에서 바꾸거나, 숫자를 6과 8 대신 5와 9로 바꾸어도 정의를 찾아내는지 봅니다.
또한 그림 없이 “O가 AB의 수직이등분선 위에 있고 OA=7일 때 OB의 길이를 구하여라”처럼 문장만 제시합니다. 학생이 OB=7이라고 답한 뒤 ‘O가 수직이등분선 위에 있기 때문’이라고 근거까지 쓰는지 확인합니다. 마지막에는 제한 시간을 정하고 학교 프린트와 다른 표현의 서술형을 풀게 하여, 그림의 색이나 배치가 아닌 정의와 식으로 해결하는지를 기록합니다.
통학 뒤 짧은 시간에도 가능한 배곧동 학습 설계
배곧동에는 배곧라라중학교, 배곧중학교, 배곧해솔중학교가 있고 배곧상업지구 등 생활권 이동이 이어집니다. 방과 후 이동 시간이 생기면 긴 문제집 진도보다 20분 단위의 정의 번역 과제가 효율적입니다. 귀가 후 그림에서 관련 선 두 개를 찾고, 등식 한 줄과 근거 한 문장을 남기는 방식입니다. 같은 시흥시의 군자중학교와 논곡중학교 등은 통학권 참고 자료일 뿐, 학교별 시험 경향을 단정하는 근거로 사용하지 않습니다.
과외에서는 학생이 질문을 기다리지 않고 “이 점은 어떤 선의 교점인가?”, “같은 길이는 왜 생기는가?”를 스스로 묻게 합니다. 오답이 나오면 정답만 고치지 않고 개념 오류인지, 조건 누락인지, 그림 해석 오류인지 분류합니다. 내심과 외심의 정의가 식으로 바뀌는 과정을 설명할 수 있을 때 다음 문제로 넘어갑니다.
자주 묻는 내용
내심은 항상 삼각형 안에 있나요?
삼각형의 내심은 세 내각의 이등분선의 교점이므로 삼각형 내부에 있습니다.
외심은 항상 삼각형 안에 있나요?
아닙니다. 예각삼각형에서는 내부, 직각삼각형에서는 빗변의 중점, 둔각삼각형에서는 외부에 놓입니다.
그림에서 같은 길이 표시가 없으면 외심을 알 수 없나요?
‘세 변의 수직이등분선의 교점’이라는 조건이 주어졌다면 OA=OB=OC를 정의에서 이끌어낼 수 있습니다.
내심과 외심은 위치를 암기하는 단원이 아니라 선의 종류와 거리 관계를 식으로 번역하는 단원입니다. 배곧동중2수학과외에서는 학생이 그림을 보고 바로 답을 고르기보다 정의를 적고, 조건을 등식으로 바꾸고, 다른 모양의 문제에서 다시 검증하도록 학습 흐름을 조정합니다.