풍덕천동중3수학과외, 도형 설명형 과제에서 기준각과 조건을 판별하는 연습
“직각삼각형 ABC에서 sin A의 값을 구하시오.”라는 문제를 본 학생이 곧바로 변의 길이를 찾으려 한다. 그런데 그림에는 직각 표시가 있고, 기준각 A도 표시되어 있지만 학생은 각 A를 확인하지 않은 채 가장 긴 변을 대변으로 적는다. 계산은 빠르지만 처음 정한 변의 역할이 틀리면 끝까지 다른 비를 사용하게 된다.
풍덕천동의 중3 수학 과외에서는 이런 도형 설명형 과제를 단순 계산 문제가 아니라 ‘조건을 읽고 필요한 관계를 선택하는 문제’로 다룬다. 문정중학교, 수지중학교, 이현중학교, 정평중학교가 있는 생활권에서도 학생의 통학 거리와 주거지 위치에 따라 공부를 시작하는 시간이 다를 수 있다. 신정7단지나 현대성우아파트처럼 생활권이 다른 경우에는 긴 풀이보다, 짧은 시간에도 매번 확인할 수 있는 판단 절차를 만드는 편이 현실적이다.
그림을 보자마자 비율부터 쓰면 생기는 오류
한 학생은 직각삼각형에서 빗변을 찾은 뒤 다음과 같이 적었다.
sin A = 인접변 ÷ 빗변
이 식은 sin이 아니라 cos의 관계다. 학생은 삼각비의 이름을 몰라서라기보다, 기준각 A를 표시하지 않고 변의 위치를 먼저 판단했다. 또 다른 문제에서는 각 B를 기준으로 바꾸었는데도 같은 변을 계속 대변으로 사용했다.
수정할 때 공식을 여러 번 외우게 하는 대신 첫 줄을 바꾼다. 학생이 문제를 받으면 먼저 그림에서 직각 표시와 기준각을 찾아 표시한다. 그다음 기준각과 마주 보는 변에 ‘대’, 기준각과 붙어 있으면서 빗변이 아닌 변에 ‘인’, 직각 맞은편의 가장 긴 변에 ‘빗’이라고 적는다. 변의 길이가 숫자로 주어지지 않아도 이 표시를 먼저 할 수 있어야 한다.
기준각이 바뀌면 같은 변의 이름도 달라진다
예를 들어 직각삼각형 ABC에서 ∠C=90°이고 AB=10, AC=6, BC=8이라고 하자. ∠A를 기준으로 하면 AB는 빗변, BC는 대변이므로
sin A = 8/10 = 4/5
이다. 같은 그림에서 ∠B를 기준으로 바꾸면 대변은 AC가 된다. 따라서
sin B = 6/10 = 3/5
로 달라진다. 학생이 “BC가 대변”이라고 외우면 안 되는 이유가 여기에 있다. 대변과 인접변은 변 자체의 고정된 이름이 아니라 기준각에 따라 결정된다.
학생에게는 계산 전에 “지금 구하는 각은 무엇인가?”, “직각의 맞은편 변은 무엇인가?”, “그 각과 마주 보는 변은 무엇인가?”를 말하게 한다. 이 세 질문에 답한 뒤에야 sin, cos, tan 중 하나를 선택한다. 답을 맞혔더라도 이 과정을 말하지 못하면 그림의 숫자 위치가 바뀌었을 때 다시 흔들릴 가능성이 크다.
설명형 문항에서는 식보다 조건 표시가 먼저다
서술형으로 “왜 sin A를 사용했는지 설명하시오”라고 물으면 학생은 “공식이기 때문이다”라고 적는 경우가 있다. 하지만 필요한 설명은 공식의 암기가 아니라 조건과 변의 관계다.
∠C가 직각이고, ∠A에 대한 대변이 BC, 빗변이 AB이므로 sin A=BC/AB를 사용한다.
이 문장은 그림의 조건, 기준각, 변의 역할, 선택한 삼각비를 모두 연결한다. 과외에서는 학생이 답안을 쓴 뒤 문장 속에 직각 조건과 기준각이 실제로 들어갔는지 확인한다. 숫자만 맞는 풀이보다 어떤 조건을 근거로 식을 세웠는지가 중요하기 때문이다.
중1·중2 과정의 각의 이름과 분수 계산에서 막힘이 나타나면 해당 부분만 짧게 확인한다. 예를 들어 ‘각 A와 마주 보는 변’을 찾지 못하면 맞은편이라는 말의 뜻을 그림에서 다시 표시하고, 분수 계산이 틀리면 삼각비 전체를 되풀이하지 않고 현재 식의 약분만 바로잡는다. 확인이 끝나면 반드시 다시 중3 도형 문제로 돌아와 기준각을 표시하게 한다.
그림을 회전해도 먼저 찾을 것은 변의 역할이다
다음 문제에서는 삼각형이 옆으로 놓여 있고, 직각 표시가 왼쪽 아래에 있다. 학생은 평소처럼 아래쪽 변을 밑변으로 보고 sin을 정한다. 그러나 도형이 회전되었다고 해서 기준각과 직각 조건이 바뀌는 것은 아니다. 그림의 방향이나 변의 길이 표기는 판단 기준이 될 수 없다.
수정 행동은 간단하다. 학생이 문제의 그림을 받으면 종이에 먼저 기준각을 동그라미로 표시하고, 직각 맞은편을 한 줄로 연결한다. 그 선이 빗변이다. 이후 기준각에서 반대편으로 선을 따라가 대변을 정한다. 이 과정을 통해 ‘위에 있는 변’, ‘오른쪽 변’처럼 위치로 판단하는 습관을 줄인다.
풍덕천동에서 통학 시간이 짧은 학생은 수업 직후 10분 동안 그림 두 개의 기준각만 바꾸어 비교할 수 있고, 이동 시간이 긴 학생은 한 문제를 풀기 전 조건 표시와 설명 문장 작성만 과제로 정할 수 있다. 같은 학교생활권이라도 실제로 확보되는 시간이 다르므로 문제 수를 일괄적으로 늘리기보다 첫 행동을 유지하는지를 본다. 같은 수지구의 대지중학교는 참고 학교로 볼 수 있지만, 풍덕천동 소재 학교와 동일한 출제 상황이라고 단정하지 않고 학생이 실제로 받은 문항의 표현을 기준으로 조정한다.
숫자와 구하는 값이 바뀐 문제에서 확인하기
독립 검증에서는 앞의 6-8-10 삼각형을 그대로 다시 풀게 하지 않는다. 이번에는 ∠B=30°인 직각삼각형에서 빗변이 12이고, ∠B의 대변을 구하게 한다. 학생이 공식을 기억하는지보다 먼저 ∠B와 직각 표시를 찾는지 관찰한다. 대변은 12×sin 30°이므로 6이다.
이번에는 sin값을 계산하는 문제가 아니라 길이를 구하는 문제로 바뀌었다. 학생이 “대변/빗변=sin B”를 세운 뒤 대변을 x로 두고 x/12=1/2에서 x=6을 얻는다면, 이전 답을 외운 것이 아니라 기준각과 비의 의미를 새 조건에 적용한 것이다. 마지막에는 6/12=1/2를 다시 대입해 식을 확인하게 한다.
도형 설명형 과제에서 확인할 기준은 풀이량이 아니다. 학생이 그림의 방향과 숫자가 바뀌어도 직각 표시와 기준각을 먼저 찾고, 변의 역할을 문장으로 설명한 뒤 삼각비를 선택하는지에 있다.