죽전동중2수학과외, 경우의 수를 나열할 때 중복과 누락을 줄이는 방법
죽전동 중2 학생의 경우의 수 학습에서는 답의 숫자보다 그 숫자에 도달한 나열 과정이 더 중요하다. 가능한 경우를 하나씩 적는 문제에서 같은 대상을 두 번 세거나, 특정 조건을 만족하는 경우를 빠뜨리면 우연히 답을 맞혀도 비슷한 새 문제에서 다시 흔들린다. 특히 탐구형 과제나 서술형 문항에서는 “왜 이 경우만 세었는가”를 설명해야 하므로 목록을 만든 기준이 분명해야 한다.
나열을 시작하자마자 생기는 두 가지 오류
예를 들어 A, B, C, D 네 명 중 회장과 부회장을 한 명씩 뽑는다고 하자. 학생이 먼저 A를 회장으로 정한 뒤 부회장에 B, C, D를 적는 것까지는 정확하게 진행한다. 그러나 다음 줄에서 B를 회장으로 적고 부회장에 A, C, D를 쓰다가 앞에서 적은 경우를 다시 옮기거나, C와 D를 빠뜨리는 일이 생긴다.
또 다른 장면에서는 숫자 1, 2, 3, 4 중 서로 다른 두 개를 골라 두 자리 수를 만드는 문제에서 12, 13, 14를 적은 뒤 21, 23, 24를 적는다. 이후 31과 32를 쓰고 34를 빠뜨린다. 학생은 “순서가 다르면 다른 수”라는 조건은 알고 있지만, 어느 숫자를 첫 자리 기준으로 삼았는지 표시하지 않아 누락을 발견하지 못한다.
“경우를 많이 쓰면 된다고 생각해서 줄을 바꿀 때마다 앞에서 쓴 것을 다시 확인하지 않았어요.”
죽전동 생활권에서 계획을 세울 때 확인할 점
죽전동에는 대지중학교, 용인대덕중학교, 죽전중학교, 현암중학교가 있으며, 문정중학교는 같은 수지구의 참고 학교로 구분된다. 학교별 실제 시험 범위와 수행평가 일정은 각 학교 안내를 기준으로 확인해야 하며, 특정 학교의 난도나 출제 경향을 단정할 수는 없다.
성현마을2단지 등 생활권에서 귀가하는 시간이 일정하지 않다면 경우의 수 단원을 한 번에 긴 시간 공부하기보다, 평일에는 20분 동안 나열표 하나를 완성하고 주말에는 조건을 바꾼 문제로 검증하는 식이 효율적이다. 시험 범위가 확정된 직후에는 새 문제를 많이 늘리기보다 기존 풀이에서 중복과 누락이 발생한 지점을 먼저 표시한다.
경우를 세기 전에 기준을 고정한다
첫 단계는 무엇을 기준으로 나눌지 정하는 것이다. 두 자리 수 문제라면 십의 자리 숫자를 먼저 고정하고, 각 줄에 일의 자리 후보를 적는다. 1, 2, 3, 4로 서로 다른 두 자리 수를 만들면 다음처럼 정리할 수 있다.
십의 자리가 1이면 12, 13, 14
십의 자리가 2이면 21, 23, 24
십의 자리가 3이면 31, 32, 34
십의 자리가 4이면 41, 42, 43
각 줄에 세 개씩 있고 네 줄이므로 모두 12가지이다. 이때 12와 21을 같은 경우로 처리하면 안 된다. 두 수의 순서가 바뀌었기 때문이다. 반대로 순서를 고려하지 않는 문제라면 12와 21을 따로 세지 않아야 하므로 문제의 표현을 먼저 확인해야 한다.
학생이 직접 남겨야 하는 표시
- 첫 번째 기준을 문제지 왼쪽에 한 단어로 적는다. 예: “십의 자리별”.
- 한 기준에 해당하는 후보를 모두 적은 뒤 다음 기준으로 이동한다.
- 사용한 숫자에는 작은 표시를 하여 같은 숫자를 다시 선택하지 않았는지 확인한다.
- 각 줄의 개수를 세고 마지막에 줄 수와 곱해 전체 개수를 점검한다.
- 조건이 있는 경우 조건을 만족하지 않는 항목에 취소선을 긋되, 왜 제외했는지 짧게 적는다.
예를 들어 1, 2, 3, 4로 만든 두 자리 수 중 짝수만 찾는다면 일의 자리가 2 또는 4여야 한다. 십의 자리를 기준으로 나열할 수도 있지만, 마지막 자리를 기준으로 2와 4를 먼저 고르면 더 짧다. 일의 자리가 2일 때 12, 32, 42 세 개, 일의 자리가 4일 때 14, 24, 34 세 개이므로 모두 6개이다. 22와 44는 서로 다른 숫자를 사용한다는 조건에 맞지 않아 포함하지 않는다.
막힌 질문을 구체적인 질문으로 바꾸기
학생이 “모르겠다”고 말하는 대신 “첫 번째 기준은 정했지만 세 번째 줄에서 34를 썼는지 확인하지 못했다”라고 말하도록 훈련한다. 풀이 노트에는 정답만 옮기지 않고 기준, 각 줄의 목록, 줄별 개수, 전체 확인을 네 칸으로 나누어 기록한다.
목록이 길어지면 수형도를 활용할 수 있다. 첫 번째 선택에서 네 갈래를 만들고, 각 갈래에서 가능한 두 번째 선택을 세 갈래씩 연결한다. 가지가 겹치지 않는지 살펴본 뒤 마지막 가지 수를 센다. 단순히 “4×3=12”라고 쓰는 것이 아니라, 4는 첫 번째 자리의 선택 수이고 3은 첫 번째 선택 후 남은 수라는 뜻을 말하게 한다.
같은 문제를 다시 풀지 않는 검증
훈련 뒤에는 숫자만 바꾼 문제가 아니라 조건과 표현을 바꾼 문제를 제시한다. 1, 2, 3, 4 대신 0, 1, 2, 3으로 서로 다른 두 자리 수를 만들게 하면 십의 자리에 0을 놓을 수 없다는 조건을 추가해야 한다. 이때 십의 자리가 1, 2, 3일 때 각각 일의 자리 세 개씩이므로 9개이다. 01, 02, 03은 두 자리 수가 아니므로 세지 않는다.
다음에는 “두 숫자를 골라 순서를 고려하지 않는다”로 바꾼다. 1, 2, 3, 4 중 두 개를 고르는 경우는 12, 13, 14, 23, 24, 34로 6개이다. 학생이 21을 별도로 적지 않는지, 6개를 센 뒤 빠진 조합이 없는지 확인한다. 마지막으로 5분 제한을 두고 기준을 먼저 적은 뒤 목록과 이유를 함께 제출하게 한다.
과외에서의 기록 방식
수업에서는 문제를 대신 풀어 주기보다 학생이 나열 기준을 선택하고 그 선택이 중복과 누락을 막는지 설명하게 한다. 맞힌 문제도 목록의 순서가 우연히 정리된 것인지 확인한다. 틀린 문제는 계산 오류로 묶지 않고 중복, 누락, 조건 누락, 순서 해석 오류로 구분해 기록한다. 다음 수업 첫 부분에는 이전과 다른 숫자와 다른 조건의 문제를 짧게 제시해 같은 오류가 재현되는지 살핀다.
자주 묻는 질문
경우의 수는 항상 직접 나열해야 하나요?
경우가 적고 기준이 분명할 때는 나열이 효과적이다. 경우가 많아지면 곱의 법칙이나 수형도로 바꾸되, 각 수가 무엇을 뜻하는지 설명할 수 있어야 한다.
곱셈으로 계산하면 중복과 누락을 어떻게 확인하나요?
각 단계의 선택 조건을 말로 풀어 쓴다. 예를 들어 4×3에서 4와 3이 각각 어떤 선택 수인지 설명하고, 조건을 만족하지 않는 선택이 포함되지 않았는지 작은 목록으로 점검한다.
시험 직전에 가장 먼저 볼 것은 무엇인가요?
정답 모음보다 기준 표시와 조건 체크를 본다. 순서를 고려하는지, 0을 첫 자리에 둘 수 있는지, 같은 대상을 두 번 세지 않았는지를 새 문제에 적용해 확인하는 것이 우선이다.