동천동중3수학과외, 맞힌 이차방정식도 조건과 검산까지 확인하기
학교 프린트의 이차방정식 심화문제에서 학생은 x의 값을 두 개 구한 뒤 답란에 그대로 옮겼다. 계산 결과는 맞았지만 풀이를 살펴보니 근의 공식에 대입한 식에는 부호 표시가 없었고, 마지막에는 두 근을 원래 방정식에 넣어 보지 않았다. 답을 맞혔다는 사실과 풀이가 타당하다는 판단을 분리하지 못한 장면이었다.
예를 들어 학생은 다음 문제를 풀었다.
2x²-5x-3=0의 두 근을 구하시오.
학생은 판별식과 근의 공식을 이용해
x=(5±√49)/4
라고 적은 뒤 x=3, -1/2을 얻었다. 실제 정답은 맞다. 그러나 학습 과정에서 확인해야 할 부분은 답의 숫자만이 아니다. a=2, b=-5, c=-3을 정확히 읽었는지, -b를 5로 바꾸는 과정에서 부호를 임의로 생략하지 않았는지, 분모 2a를 4로 계산했는지, ±를 두 경우로 나누었는지가 함께 드러나야 한다.
정답 뒤에 남아 있던 세 가지 빈칸
이 학생은 계산을 빠르게 끝내려고 근의 공식의 일부만 적었다. 특히 b=-5를 괄호 없이 식에 옮기면 -(-5)를 -5로 잘못 처리할 가능성이 있다. 또 √49=7이라고 계산한 뒤 양의 값만 사용하면 한 근을 잃는다. 마지막으로 두 값을 구했더라도 원래 식에 대입하지 않으면 계산 과정의 오류를 발견하기 어렵다.
따라서 풀이를 다음처럼 고쳐 쓴다.
2x²-5x-3=0에서 a=2, b=-5, c=-3이다.
x={-(-5)±√{(-5)²-4·2·(-3)}\over 2·2}
={5±√49\over4}={5±7\over4}
따라서 x=3 또는 x=-1/2이다.
여기서 중요한 수정 행동은 공식을 외웠다고 말하는 것이 아니라, 계수를 먼저 따로 적고 음수 계수는 괄호째 대입하는 것이다. 이후 ±를 위쪽 근과 아래쪽 근으로 나누어 각각 계산한다. 학생이 답란에 숫자만 쓰지 않고 두 근을 구하는 과정과 판별식의 값을 남기도록 한 이유도 이 때문이다.
근의 공식보다 먼저 확인한 선수 장면
학생이 -1/2을 얻은 뒤 “음수가 나왔으니 틀린 것 같다”고 말한 장면도 있었다. 이차방정식의 해는 양수여야 한다는 조건이 문제에 제시되지 않았다면 음의 근도 가능하다. 다만 문장제에서 길이, 시간, 인원처럼 음수가 될 수 없는 값을 구하는 경우에는 계산 뒤 조건을 따로 적용해야 한다.
이때 중1·중2의 부호 계산 전체를 다시 반복하지 않고, 현재 문제에 필요한 부분만 확인했다. -(-5)=5, (-5)²=25라는 두 줄을 직접 계산하게 한 뒤 근의 공식으로 돌아왔다. 학생은 부호를 말로만 설명하지 않고 식의 각 항에 괄호를 붙여 다시 대입했다.
맞힌 풀이를 다시 검산하는 방법
검산은 원래 식에 두 근을 각각 넣는 방식으로 진행했다.
x=3이면 2·3²-5·3-3=18-15-3=0이다.
x=-1/2이면 2·(-1/2)²-5·(-1/2)-3=1/2+5/2-3=0이다.
두 값 모두 원래 식을 0으로 만들므로 해가 맞다는 사실을 확인할 수 있다. 이 과정은 단순히 답을 한 번 더 보는 것과 다르다. 첫 번째 근만 대입하고 끝내지 않고, 두 근을 모두 넣어야 하며, 대입할 때 음수 근 전체를 괄호로 묶어야 한다.
동천동에서 수업 일정을 잡을 때는 손곡중학교와 용인한빛중학교의 학교 프린트 확인 시점, 시험 범위, 수행평가 일정, 평일 귀가 시간을 함께 놓고 풀이 점검 시간을 배치할 수 있다. 이 학교들은 동천동 지역 내 중학교 자료에 해당한다. 대지중학교·문정중학교·상현중학교는 같은 수지구의 통학권 참고 자료이므로 동천동 소재 학교로 단정하지 않고, 수지구 안에서 활용되는 문제 표현과 학습 일정의 참고 범위로만 본다. 제공된 주소 자료상 동천동에는 고등학교가 확인되지 않으므로 고등학교 시험을 근거로 현재 중3 학습 수준을 판단하지 않는다.
새 계수에서 같은 첫 행동을 꺼내는가
다음 시간에는 답을 기억할 수 없는 문제로 바꾸었다.
3x²+2x-1=0을 근의 공식으로 풀고, 두 근을 원래 식에 대입하여 확인하시오.
학생은 처음에 곧바로 공식에 숫자를 넣으려 했지만, 수정한 절차에 따라 a=3, b=2, c=-1을 먼저 적었다.
x={-2±√{2²-4·3·(-1)}\over6}
={-2±√16\over6}={-2±4\over6}
따라서 x=1/3 또는 x=-1이다. 두 값을 대입하면 3·(1/3)²+2·(1/3)-1=0, 3·(-1)²+2·(-1)-1=0이 된다.
숫자와 계수가 달라졌지만 학생은 계수 분리, 부호 괄호, ± 분리, 두 근 검산을 도움 없이 실행했다. 이 단계에서 확인할 기준은 비슷한 문제의 정답을 다시 맞히는 것이 아니라, 조건이 바뀐 이차방정식에서도 풀이를 시작하는 첫 행동과 그 근거를 스스로 꺼내는지에 있다.