수정구중1수학과외, 소인수분해 결과를 다시 곱해 오답을 찾는 연습
“84=2×3×7입니다.”
이 답만 적고 다음 문제로 넘어갔지만, 실제로 2×3×7을 계산해 84가 되는지 확인하지 않았다면 소인수 하나를 빠뜨렸는지 알기 어렵다. 중1 소인수분해에서는 정답을 적는 순간보다, 분해한 결과가 원래 수로 돌아가는지 확인하는 과정이 중요하다. 특히 학교 프린트에서 조건이 하나 추가되거나 숫자가 바뀌면 외운 풀이 순서만으로는 실수가 쉽게 드러난다.
교과서 예제를 보며 이해한 것과 첫 줄을 만드는 것은 다르다
한 중1 학생이 교과서의 예제 180을 다음처럼 풀이했다고 하자.
180=2×90=2×2×45=2×2×3×15=2×2×3×3×5=2²×3²×5
풀이를 옆에서 보면 각 단계의 의미를 설명할 수 있다. 그러나 책을 덮고 252를 다시 풀게 하면 첫 줄에 무엇으로 나누어야 할지 멈춘다. 이때 교과서 풀이를 다시 베껴 쓰는 것은 이해를 확인하는 방법이 아니다. 252를 2로 나눌 수 있는지, 나눈 뒤의 126도 다시 2로 나눌 수 있는지처럼 현재 수의 나눗셈 가능성을 스스로 판단해야 한다.
252=2×126=2×2×63=2²×3²×7
이 학생의 문제는 소인수분해의 정의를 전혀 모르는 데 있지 않다. 책을 보지 않고 첫 단계를 시작하는 행동이 아직 만들어지지 않은 것이다. 다음 날 재풀이보다 새로운 문제 수를 늘리면 이 약점은 가려진 채 남을 수 있다.
학교 프린트에서 실제로 생기는 누락
예를 들어 프린트에 “360을 소인수분해하고 소인수의 곱으로 확인하시오”라는 문항이 있다. 학생이 다음과 같이 적었다고 하자.
360=2³×3×5
분해 과정 중 3이 두 번 나왔는데 한 번만 기록한 경우다. 정답을 보고 틀렸다고 표시하는 것만으로는 왜 빠졌는지 알기 어렵다. 학생은 먼저 결과를 역방향으로 계산한다.
2³×3×5=8×3×5=120
원래 수 360이 나오지 않으므로 지수나 소인수 기록에 문제가 있다는 것을 확인할 수 있다. 실제 분해는 360=2³×3²×5이고, 다시 계산하면 8×9×5=360이다. 이 확인은 답지를 보기 전에 오류 위치를 찾게 해 준다.
또 다른 예로 420을 2²×3×5×7로 적었다면 4×3×5×7=420이므로 결과는 맞다. 반대로 2²×3×5만 적으면 60이 되어 7이 빠졌다는 사실이 바로 드러난다. 소인수의 개수를 눈으로 세는 것보다 원래 수로 되돌리는 편이 누락을 구체적으로 발견하기 쉽다.
풀이를 따라 쓰지 않고 시작하는 고정 행동
교과서를 덮은 뒤 다음 순서만 짧게 실행한다.
- 주어진 수에서 2로 나누어지는지 확인한다.
- 계속 나누어지는 동안 같은 소인수를 빠뜨리지 않고 옆에 기록한다.
- 2로 더 나누어지지 않으면 3, 5, 7 순서로 나눌 수 있는지 살핀다.
- 마지막에 같은 소인수를 지수로 묶는다.
- 완성한 식을 다시 곱해 원래 수가 되는지 확인한다.
예를 들어 168은 2로 계속 나누어 168=2×84=2²×42=2³×21=2³×3×7로 정리할 수 있다. 마지막에는 8×3×7=168인지 계산한다. 이때 학생이 식을 적은 뒤 바로 정답지와 비교하지 않고 역산을 먼저 한다면, 풀이를 기억하는 것에서 벗어나 결과를 검증하는 단계로 넘어가는 중이다.
피곤한 날에는 문제 수보다 확인 순서를 지킨다
평일 귀가 시간이 늦은 날까지 같은 분량을 고집하면 계산 실수가 늘어날 수 있다. 수정구의 중학교별 시험 범위와 학교 프린트, 수행평가 일정을 확인해 학습 시간을 배치하되, 피곤한 날에는 고난도 문제를 많이 추가하기보다 소인수분해 한두 문항의 구조를 정확히 확인하는 편이 낫다. 상원여자중학교, 성남문원중학교, 성남서중학교, 성남여자중학교, 수진중학교, 위례중앙중학교처럼 학교가 다를 경우에도 실제 범위와 일정은 각각 확인해야 하며, 대표 학교 자료만으로 모든 학생의 통학과 시험 계획을 같게 볼 수는 없다.
그날의 최소 과제는 새 문제를 많이 푸는 것이 아니라, 한 문제를 혼자 시작하고 결과를 원래 수로 되돌려 보는 것이다. 부모가 풀이 첫 줄을 대신 알려 주기보다 학생이 “먼저 2로 나누어지는지 확인하겠습니다”라고 말한 뒤 직접 적게 하면 시작 행동을 관찰할 수 있다.
같은 문제를 맞힌 뒤에도 독립 적용을 확인하는 방법
360을 다시 풀어 맞혔다고 바로 종료하지 않는다. 다음에는 숫자를 바꾼 540을 제시한다.
540=2²×3³×5
학생은 4×27×5=540인지 계산해야 한다. 이어서 부호가 포함된 계산을 억지로 소인수분해 문제로 바꾸는 것이 아니라, “-540의 소인수분해 결과를 이용해 -540을 나타내라”처럼 부호를 별도로 확인하게 할 수 있다. 이때 소인수분해 자체는 양의 자연수 540에 대해 하고, 음수 부호는 곱의 앞에 따로 둔다.
일주일 뒤에는 420처럼 소인수가 반복되지 않는 수와 144처럼 같은 소인수가 여러 번 반복되는 수를 섞어 제시한다. 학생이 문제 유형을 보고 교과서 예제 번호를 찾지 않고, 나눌 수 있는 소인수를 직접 선택하는지 확인한다. 마지막으로 “복습을 끝내도 되는가”를 학생이 결정하게 하되, 첫 줄을 도움 없이 작성하고, 지수 누락 없이 분해하며, 역으로 곱한 결과가 원래 수와 일치하는 조건을 모두 만족해야 한다.
소인수분해의 학습 변화는 문제를 몇 개 풀었는지가 아니라, 책을 덮은 뒤 첫 단계를 만들고 그 결과를 다시 곱해 스스로 오류를 찾는지에서 확인된다.