창곡동중3수학과외, 평균 문제를 변형 조건에서도 독립적으로 적용하기
“평균이 6명인데 한 명의 점수가 빠졌으니 6으로 나눠야 해요.” 창곡동의 한 중3 학생은 자료의 개수가 바뀐 문제에서 이렇게 답을 적었다. 평균 공식 평균＝자료의 합÷자료의 개수는 외우고 있었지만, 문제에서 무엇이 추가되고 무엇이 빠졌는지에 따라 합과 개수를 함께 조정해야 한다는 점은 식으로 연결하지 못했다.
평균을 계산하는 순간보다 자료의 변화를 읽는 순간
처음 제시된 다섯 자료가 4, 7, 8, 10, 11이라면 합은 40, 자료의 개수는 5이므로 평균은 8이다. 학생은 여기까지는 정확히 계산했다. 그러나 “6번째 자료를 추가했더니 평균이 9가 되었다. 추가된 자료는 얼마인가?”라는 질문에는 9를 답으로 적었다.
이 문제에서 먼저 해야 할 일은 평균 공식에 새 조건을 대입하는 것이다. 자료가 6개가 되었고, 새 자료를 x라고 하면 전체 합은 40+x이다.
(40+x)÷6＝9
따라서 40+x＝54, x＝14이다. 학생이 놓친 것은 나눗셈 계산 자체가 아니라 평균 9가 전체 6개 자료에 대한 평균이라는 조건이었다. 평균을 새로운 자료처럼 더하거나, 기존 평균과 새 평균을 단순히 비교하는 방식으로는 추가된 값의 크기를 구할 수 없다.
평균을 먼저 곱해 전체 합으로 바꾸기
수업에서는 평균 문제를 만났을 때 곧바로 나누지 않고, 먼저 “평균×자료 수＝전체 합”으로 바꾸어 말하게 했다. 이 문장을 식으로 옮기면 자료가 추가되거나 삭제되는 문제에서 필요한 항이 자연스럽게 드러난다.
예를 들어 6명의 평균 점수가 72점인데 한 명의 점수를 제외하자 5명의 평균이 68점이 되었다고 하자. 처음 6명의 총점은 6×72＝432점이고, 제외한 5명의 총점은 5×68＝340점이다. 따라서 제외된 학생의 점수는 432-340＝92점이다.
학생은 처음에 72-68＝4라고만 적었다. 평균의 차이 4점은 제외된 한 사람의 점수가 아니라, 전체 합을 자료 수에 맞게 비교한 결과가 아니다. 수정할 때는 문제의 숫자에 동그라미를 치는 대신, 각 평균 옆에 자료 수를 바로 적게 했다. “6명 평균 72 → 총점 432”, “5명 평균 68 → 총점 340”처럼 평균과 개수를 한 묶음으로 기록하는 방식이다.
같은 평균이라도 자료 수가 다르면 총점은 달라진다
두 반의 수학 점수 평균이 모두 80점이라는 조건을 보고 학생은 두 반의 총점도 같다고 판단했다. 하지만 A반이 20명이고 B반이 25명이라면 A반 총점은 20×80＝1600점, B반 총점은 25×80＝2000점이다. 평균이 같다는 사실만으로 자료의 합까지 같다고 할 수 없다.
이 장면에서는 계산을 늘리기보다 학생의 설명을 바꾸었다. “평균은 대표값이고, 총점은 평균에 자료 수를 곱해서 구한다”고 직접 말한 뒤 두 반의 조건을 표에 나누어 적었다. 평균만 같은 문제와 평균·자료 수가 함께 주어진 문제를 비교하면서, 어떤 값이 고정되고 어떤 값이 달라지는지 표시하게 했다.
창곡동에는 위례중앙중학교와 위례한빛중학교가 지역 내 중학교로 확인되며, 같은 수정구의 상원여자중학교·성남문원중학교·성남서중학교는 참고 학교로 구분된다. 남위례역 등이 확인되는 생활권에서는 중학교에서 고등학교로 이동할 때 통학과 과제, 시험 일정이 함께 늘어날 수 있다. 그래서 평균 단원도 풀이량만 늘리기보다, 짧은 시간 안에 조건을 식으로 바꾸고 답을 검산하는 연습이 필요하다. 제공된 주소 자료 기준 창곡동 내 고등학교는 1개, 같은 수정구 내 고등학교는 5개로 확인되므로 학교 범위도 섞어 말하지 않도록 안내한다.
정답 뒤에 평균으로 다시 확인하기
학생이 6번째 점수를 14점으로 구한 뒤에는 답을 적고 끝내지 않았다. 기존 총점 40점에 14점을 더하면 54점, 6명으로 나누면 9점이므로 조건과 일치한다고 역검산했다. 제외 문제에서도 92점을 다시 원래 총점에 넣어 92+340＝432, 432÷6＝72가 되는지 확인했다.
이 검산은 같은 문항을 다시 푸는 것과 다르다. 처음에는 평균과 자료 수를 함께 쓰지 못했지만, 검산 단계에서는 구한 값을 원래 조건에 되돌려 넣어야 한다. 계산 결과가 맞는지뿐 아니라 자료의 개수도 문제와 일치하는지 확인하게 했다.
숫자와 질문을 바꾼 독립 적용
다음 학습에서는 기존 문제의 숫자만 바꾸지 않고 구하는 대상을 바꾸었다. 7개의 자료 평균이 16이고, 그중 한 자료 22를 제외했을 때 남은 자료의 평균을 구하는 문제였다. 학생은 전체 합을 7×16＝112로 만든 뒤 112-22＝90, 90÷6＝15라고 풀이했다. 이번에는 평균과 자료 수를 한 줄에 묶어 적은 뒤, 제외 후 자료 수가 6개라는 점도 직접 표시했다.
마지막으로 “새 자료를 더했을 때 평균이 낮아지는가”를 계산 전에 판단하게 했다. 평균 15인 4개 자료에 새 자료를 추가한 뒤 평균이 13이 되었다면 새 자료는 기존 평균보다 작아야 한다. 실제로 (4×15+x)÷5＝13에서 x＝5가 나온다. 학생은 계산 전에 “5는 15보다 작으므로 평균이 내려가는 조건과 맞다”고 설명했다.
중3 평균 문제에서 확인할 기준은 공식을 말할 수 있는지가 아니다. 평균과 자료 수를 곱해 전체 합을 만들고, 추가·삭제된 자료를 식에 반영한 다음, 구한 값을 원래 조건에 다시 넣을 수 있는지가 기준이다. 숫자와 문제의 표현이 달라져도 이 첫 행동을 도움 없이 선택한다면 평균 공식은 암기가 아니라 독립적으로 사용하는 도구가 된다.