“자료가 7개니까 네 번째 값이 중앙값이에요.” 신흥동 중3 학생이 이렇게 답했지만, 풀이 과정에는 자료를 어떤 순서로 놓았는지가 적혀 있지 않았다. 숫자를 크기순으로 정렬했는지 확인하지 않은 채 가운데 위치만 세면, 중앙값을 우연히 맞혀도 다음 문제에서 같은 판단을 반복하기 어렵다. 신흥동중3수학과외에서는 정답보다 중앙값을 선택한 근거와 마지막 검산까지 답안에 남기는 연습을 중심에 둔다.
네 번째 자료를 고르기 전에 정렬 여부부터 확인하기
자료가 다음과 같다고 하자.
8, 3, 11, 6, 5, 9, 4
학생은 입력된 순서에서 네 번째 수인 6을 그대로 중앙값으로 적었다. 이 답은 우연히 정렬한 자료의 네 번째 값과 같지 않다. 자료를 작은 값부터 배열하면
3, 4, 5, 6, 8, 9, 11
이므로 7개의 자료에서 가운데에 놓인 네 번째 값은 6이다. 그러나 처음부터 네 번째에 있던 수를 선택한 것이 아니라, 정렬한 뒤 양쪽에 자료가 세 개씩 남는지를 확인해야 한다. 학생의 오답은 계산 실수라기보다 ‘중앙값은 입력 순서의 가운데’라고 해석한 데서 시작됐다.
답안에 남겨야 할 세 가지 흔적
중앙값 문제를 풀 때는 자료를 정렬한 줄, 자료의 개수, 가운데 위치를 차례로 확인한다. 위 자료라면 먼저 7개라는 사실을 세고, 홀수 개이므로 가운데 위치를
(7+1)÷2=4
로 구한다. 그다음 정렬된 네 번째 자료가 6인지 읽는다. 학생에게 “왜 6인가?”라고 물었을 때 “가운데라서요”라고만 답하지 않고, “정렬한 자료에서 왼쪽 세 개와 오른쪽 세 개 사이에 있기 때문”이라고 설명하게 해야 풀이 근거가 완성된다.
신흥동의 성남여자중학교를 비롯해 같은 수정구의 상원여자중학교, 성남문원중학교, 성남서중학교, 수진중학교 자료를 학습 일정과 통학권을 살필 때 참고할 수 있다. 다만 이 학교들을 모두 신흥동 소재 학교로 표현할 수는 없다. 지역 안팎에서 이동하고, 중학교에서 고등학교로 넘어가며 과제와 시험 준비 시간이 늘어날수록 짧은 자료 문제도 풀이 과정을 생략하기 쉽다. 그래서 한 문항을 풀더라도 정렬과 위치를 표시하는 습관을 수업 중 바로 확인한다.
자료가 짝수 개일 때 ‘가운데 하나’라고 쓰지 않기
다음 문제에서 학생은 6개의 자료를 보고 세 번째 값만 골랐다.
12, 7, 15, 9, 4, 10
정렬하면 4, 7, 9, 10, 12, 15가 된다. 자료가 짝수 개이면 가운데 두 자료는 세 번째와 네 번째인 9와 10이다. 따라서 중앙값은
(9+10)÷2=19÷2=9.5
이다. 학생이 9만 적었다면 ‘가운데 위치를 찾는 것’까지는 했지만, 두 가운데 자료의 평균을 구하는 마지막 행동을 빠뜨린 것이다.
오답 옆에 바로 적는 수정 행동
짝수 개 자료를 만났을 때는 자료 개수에 동그라미를 치고, 정렬된 줄의 가운데 두 수에 밑줄을 긋는다. 그 뒤 두 수를 괄호로 묶어 평균을 계산한다.
(9+10)÷2
처럼 식을 먼저 쓰면 한 수만 선택하고 끝내는 오류를 줄일 수 있다. 계산 후에는 9와 10 사이의 값인지 확인한다. 9.5는 두 가운데 자료 사이에 있으므로 결과의 위치도 조건에 맞는다. 반대로 12가 나왔다면 산술 계산이나 자료 선택을 다시 살펴야 한다.
이 검산은 답을 다시 계산하는 데 그치지 않는다. 홀수 자료에서는 가운데 하나를, 짝수 자료에서는 가운데 두 수의 평균을 사용한다는 규칙을 결과의 위치로 확인하는 과정이다.
표현이 바뀌어도 중앙값의 근거를 유지하는 연습
중앙값은 숫자 목록으로만 출제되지 않는다. 예를 들어 일주일 동안 문제를 푼 개수가 월요일부터 일요일까지 6, 2, 9, 4, 7, 3, 5라고 제시될 수 있다. 학생이 요일 순서를 자료의 순서로 받아들이면 목요일의 4를 고를 수 있다. 하지만 요일은 측정된 순서를 보여줄 뿐 크기순 배열이 아니다.
학생이 먼저 할 일은 단위를 확인하고 값만 따로 정렬하는 것이다.
2, 3, 4, 5, 6, 7, 9
자료가 7개이므로 중앙값은 네 번째 값인 5이다. 여기서 ‘일주일의 네 번째 날’이 아니라 ‘정렬된 문제 수의 네 번째 값’이라는 점을 말로 구분해야 한다. 같은 중앙값이라도 표, 문장, 그래프처럼 제시 방식이 달라지면 첫 행동이 흔들리는 학생이 있기 때문이다.
수업에서는 학생에게 정답을 바로 지우게 하지 않고, 원래 답 옆에 다음 세 문장을 쓰게 한다. “자료의 개수는 7개이다.” “작은 수부터 정렬했다.” “양쪽에 세 개씩 남는 값은 5이다.” 이후 표의 값 하나를 3에서 12로 바꾸어 다시 풀게 한다. 새 자료는 2, 4, 5, 6, 7, 9, 12가 되고 중앙값은 6이다. 이전 답 5를 기억해 쓰는 것이 아니라, 바뀐 자료를 다시 정렬하고 네 번째 값을 찾는지 확인하는 장면이다.
평균과 중앙값을 섞지 않는 검산
자료 4, 6, 7, 8, 25에서 학생이 중앙값을 10이라고 적었다면, 모든 자료를 더해 5로 나눈 평균과 중앙값을 혼동했을 가능성이 있다. 실제 중앙값은 이미 정렬된 다섯 자료의 세 번째 값인 7이다. 평균은
(4+6+7+8+25)÷5=50÷5=10
으로 10이지만, 두 값은 구하는 방법과 의미가 다르다. 따라서 문제에서 ‘중앙값’을 물었는지 ‘평균’을 물었는지 표시하고, 중앙값을 구한 뒤에는 선택한 값의 양쪽에 같은 개수의 자료가 있는지 확인한다.
특히 25처럼 다른 값보다 큰 자료가 포함된 경우에도 중앙값은 정렬된 위치로 결정된다. 자료를 4, 6, 7, 8, 25로 놓으면 7의 왼쪽과 오른쪽에 각각 두 개가 있다. 이 위치 검산을 말할 수 있으면 평균 계산 결과 10에 끌려가지 않는다.
새 조건에서 혼자 확인한 기준
마지막에는 도움 없이 자료의 개수와 구하는 대상을 바꾼 문제를 제시한다.
18, 6, 11, 3, 14, 8
학생은 먼저 6개임을 확인하고 3, 6, 8, 11, 14, 18로 정렬했다. 가운데 두 값 8과 11을 표시한 뒤
(8+11)÷2=9.5
를 계산했고, “9.5는 8과 11 사이에 있으므로 중앙값의 위치에도 맞다”고 설명했다. 숫자와 자료의 배열이 바뀌었지만 정렬, 가운데 위치 확인, 평균 계산, 위치 검산을 스스로 꺼내 썼다면 중앙값을 답만 기억한 상태에서 벗어난 것으로 볼 수 있다.