복정동중3수학과외, 중앙값을 맞힌 뒤에도 다시 확인해야 하는 이유
학생이 자료 7, 2, 9, 4, 6을 보고 “중앙값은 7입니다”라고 답했다. 숫자를 크기순으로 배열하면 2, 4, 6, 7, 9이므로 실제 중앙값은 6이다. 이 학생은 계산을 전혀 하지 않은 것이 아니라, 자료를 받은 순서에서 가운데에 있는 수를 그대로 고른 것이다. 중앙값 문제에서 자주 나타나는 막힘은 공식 자체보다 ‘가운데’를 어떤 기준으로 판단하는지에 있다.
자료를 받은 순서와 크기순 배열은 다르다
중앙값을 구할 때 첫 행동은 자료의 개수를 세는 것이 아니라, 숫자를 작은 수부터 배열하는 것이다. 위 자료를 2, 4, 6, 7, 9로 바꾼 뒤 가운데 위치를 확인하면 세 번째 수인 6이 중앙값이 된다. 학생에게는 “몇 번째 숫자냐”보다 “정렬한 뒤 가운데에 놓인 숫자냐”를 묻게 했다. 이 질문을 거치지 않고 바로 답을 쓰는 습관이 오답으로 이어졌기 때문이다.
자료의 개수가 짝수일 때는 절차가 달라진다. 예를 들어 3, 8, 1, 10, 5, 6을 크기순으로 정리하면 1, 3, 5, 6, 8, 10이다. 가운데 두 수 5와 6의 평균을 계산하므로 중앙값은 (5+6)÷2=5.5이다. 학생이 5를 답으로 쓰거나 6을 답으로 쓰면, 배열은 했지만 짝수 개 자료의 위치를 끝까지 확인하지 않은 것이다.
맞힌 답에도 계산 근거를 붙이는 연습
학교 프린트에서는 자료가 표나 문장 속에 들어 있어 숫자만 나열된 문제보다 첫 단계가 복잡해질 수 있다. 예를 들어 “월요일부터 금요일까지의 기록이 12, 7, 15, 9, 7이다”라는 문항에서 학생은 요일 순서대로 가운데인 수를 고르려 했다. 그러나 중앙값은 기록된 순서가 아니라 값의 크기순으로 정한다. 7, 7, 9, 12, 15로 배열하면 중앙값은 9이다.
이때 학생의 답안에는 숫자 하나만 남기지 않도록 했다. 먼저 ‘크기순 배열’을 쓰고, 자료 개수가 홀수인지 확인한 다음, 가운데 위치에 표시하게 했다. 따라서 7, 7, 9, 12, 15에서 세 번째 수 9를 고른 이유가 풀이에 드러난다. 답이 우연히 맞았을 때도 이 세 단계를 적을 수 있어야 다른 표현의 문제에서 같은 원리를 꺼낼 수 있다.
이상값이 있어도 중앙값의 위치는 다시 정렬해서 찾는다
숫자 하나가 크게 바뀌면 학생은 중앙값도 반드시 크게 변한다고 생각하기 쉽다. 자료 4, 5, 6, 7, 8에서 8을 40으로 바꾸면 4, 5, 6, 7, 40이 된다. 중앙값은 여전히 세 번째 수인 6이다. 반대로 가운데 주변의 수가 바뀌면 중앙값이 달라질 수 있다. 그래서 ‘큰 수가 하나 추가되었으니 중앙값이 커졌다’처럼 자료의 모양만 보고 판단하지 않고, 바뀐 자료를 다시 배열해야 한다.
학생이 이 장면에서 한 행동은 40을 보고 가장 큰 수라고 표시한 뒤, 원래 배열을 그대로 두고 세 번째 수를 찾은 것이었다. 수정할 때는 숫자가 바뀐 문제일수록 기존 배열을 지우고 전체 자료를 다시 작은 순서로 쓰게 했다. 자료가 추가되거나 삭제된 경우에도 이전 순서를 믿지 않고 새 목록을 완성하게 했다.
복정동의 통학 일정과 연결한 자료 읽기
복정동은 경기도 성남시 수정구의 생활권으로, 제공된 자료에서는 복정지구와 남위례역, 복정캠퍼스맛집거리 등이 확인된다. 해당 지역명 주소의 중학교는 확인되지 않았으며, 같은 수정구의 참고 학교로 상원여자중학교, 성남문원중학교, 성남서중학교, 성남여자중학교, 수진중학교가 제시되어 있다. 이 학교들을 복정동 소재 학교라고 단정하지 않고, 통학과 과제 일정이 달라질 수 있는 참고 범위로만 살핀다.
중학교에서 고등학교로 넘어가면 이동 시간, 과제 제출일, 시험 준비일처럼 기록할 수 있는 자료가 늘어난다. 이 자료를 이용해 중앙값을 구할 때도 생활 맥락보다 먼저 값의 개수와 배열 상태를 확인해야 한다. 예를 들어 일주일의 이동 시간이 28, 35, 31, 42, 29분이라면 28, 29, 31, 35, 42로 정리하여 중앙값은 31분이다. 요일 순서의 세 번째 값인 31이 우연히 같더라도, 배열 과정을 생략하면 숫자가 바뀐 문제에서 흔들릴 수 있다.
새로운 조건에서 원리를 꺼내는지 확인하기
다음 학습에서는 자료를 6개로 바꾸고 숫자 하나를 반복시켰다. 18, 11, 25, 14, 11, 20을 배열하면 11, 11, 14, 18, 20, 25가 된다. 가운데 두 수는 14와 18이므로 중앙값은 16이다. 학생은 처음에 반복된 11을 하나만 세려 했지만, 각 자료는 같은 값이라도 별개의 자료라는 점을 확인한 뒤 두 번 모두 적었다.
이어 표 대신 “네 번째 기록은 16, 첫 번째는 9, 여섯 번째는 21, 두 번째는 13, 다섯 번째는 9, 세 번째는 18”처럼 순서를 섞어 제시했다. 학생은 기록 순서를 먼저 지우고 9, 9, 13, 16, 18, 21을 만든 뒤 13과 16의 평균을 계산했다. 13과 16을 더해 29, 2로 나누어 14.5라고 쓴 과정까지 설명했을 때, 단순히 앞 문제의 답을 기억한 것이 아니라 짝수 개 자료의 중앙값 원리를 새 조건에 적용한 것으로 판단할 수 있다.
중앙값 학습의 기준은 문제집의 문항 수가 아니다. 숫자의 위치, 자료 개수, 제시 순서가 바뀌어도 학생이 ‘모든 자료를 크기순으로 배열하고, 개수에 따라 가운데 수 또는 가운데 두 수의 평균을 정한다’는 첫 행동을 스스로 시작하는지가 더 중요하다.